Ερωτήσεις Μαθηματικών

Συντονιστής: emouroukos

solon28
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 2:22 am

Ερωτήσεις Μαθηματικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solon28 » Τρί Φεβ 10, 2009 10:02 pm

Οι ερωτήσεις που θέλω να κάνω είναι δύο:

1) Γιατί ο αριθμός π λέγεται υπερβατικός; Πότε ένας αριθμός λέγεται υπερβατικός;

2)Όταν ο υπολογισμός ενός ορίου οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0/0 τότε το όριο αυτό υπάρχει πάντα και είναι πραγματικός αριθμός ή μπορεί να είναι απροσδιόριστη μορφή 0/0 και το όριο να μην υπολογίζεται;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Φεβ 10, 2009 10:25 pm

Ένας αριθμός λέγεται υπερβατικός, όταν δεν είναι ρίζα κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.
Απροσδιόριστο=Μη μονοσήμαντα ορισμένο
πχ \displaystyle{\displaystyle  
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x + 3) =  + \infty  
},όμως \displaystyle{\displaystyle  
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x - (x + 3) =  - 3 
},ενώ \displaystyle{\displaystyle  
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x - 3) =  + \infty  
} και \displaystyle{\displaystyle  
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x - (x - 3) =  + 3 
}. Με λίγα λόγια σου έδωσα 2 παραδείγματα +00-(+00) που δίνουν διαφορετικό όριο.
Αν θέλουν και οι πιο έμπειροι συνάδελφοι να συμπληρώσουν τότε ακόμη καλύτερα!


Χρήστος Κυριαζής
solon28
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 2:22 am

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solon28 » Τρί Φεβ 10, 2009 10:33 pm

Ναι αλλά τι γίνεται στη περίπτωση που κάποιο όριο είναι απροσδιόριστης μορφης 0/0 (μηδέν προς μηδέν); Υπάρχει πάντα ένα τέτοιο όριο;


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Φεβ 10, 2009 10:38 pm

Απροσδιόριστη σημαίνει αυτό που λέει η λέξη ετυμολογικά, δηλαδή δεν μπορούμε να την προσδιορίσουμε και να πούμε ότι πάντα κάνει τόσο (μη μονοσήμαντα αποτέλεσμα όπως έγραψε ο Χρήστος). Αυτό σημαίνει ότι πχ απροσιοριστία της μορφής 0/0 μπορεί να οδηγήσει σε ότι θέλεις πχ το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left| {x - 1} \right|}}} δεν υπάρχει
το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x^2  - 1}}{{x - 1}}} υπάρχει και κάνει 2, το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x  - 1}}{{x^3 }}} υπάρχεικαι κάνει +άπειρο και το αντίθετο από αυτό το όριο κάνει -άπειρο. Γιαυτό υπάρχουν και τεχνικές άρσης απροσδιοριστίας ώστε με τεχνάσματα να αποφαινόμαστε για την τιμή του ορίου (εάν υπάρχει)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Φεβ 10, 2009 10:41 pm

\displaystyle{\displaystyle  
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^2  - x}} 
{{x^2 }} 
}. Υπάρχει;;


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Φεβ 10, 2009 10:48 pm

Θα ήθελα να προσθέσω ότι αν έχουμε μία απροσδιόριστη μορφή μπορεί τελικά να μην υπάρχει καν το όριο δηλαδή να μη γίνεται όπως λέμε "άρση της απροσδιοριστίας. Για παράδειγμα στο όριο \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x\eta \mu \frac{1}{x}}{\eta \mu x} έχουμε μεν απροσδιόριστη μορφή \frac{0}{0} αλλά το όριο δεν υπάρχει.
Μαυρογιάννης

Βλέπω εκ΄ των υστέρων ότι έδωσε και ο Βασίλης τέτοια παράδειγμα. Ας είναι.
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Τρί Φεβ 10, 2009 10:52 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: Προσθήκη σχολίου


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
solon28
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 2:22 am

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solon28 » Τρί Φεβ 10, 2009 11:03 pm

Νομίζω ότι το όριο \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-x}{x^{2}} δεν υπάρχει διότι

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-x}{x^{2}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x-1)}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-1}{x}

το οποίο όριο αν πάρουμε πλευρικά όρια x\rightarrow0^{+} , x\rightarrow 0^{-}
το πρώτο θα βγεί -\propto και το δεύτερο θα βγεί +\propto


solon28
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 2:22 am

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solon28 » Τρί Φεβ 10, 2009 11:07 pm

solon28 έγραψε:Νομίζω ότι το όριο \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-x}{x^{2}} δεν υπάρχει διότι

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-x}{x^{2}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x-1)}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-1}{x}

το οποίο όριο αν πάρουμε πλευρικά όρια x\rightarrow 0^{+} , x\rightarrow 0^{-}
το πρώτο θα βγεί -\propto και το δεύτερο θα βγεί +\propto

Ενώ τα έγραψα με τον ΕqEditor τα βγάζει έτσι δεν ξέρω τι φταίει!


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Φεβ 10, 2009 11:33 pm

'Οτι εξίσωση γράφεις να την μαρκάρεις και να πατάς το κουμπάκι tex. Τα προηγούμενα τα διόρθωσα. Δες και πως είναι ο κώδικάς.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Τετ Φεβ 11, 2009 12:02 am

Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή του τύπου \frac{0}{0} ή οποιαδήποτε άλλη απροσδιόριστη μορφή, έχουμε το πρόβλημα ότι δεν υπάρχει θεώρημα, που να έχει ένα συγκεκριμένο συμπέρασμα.
Δηλαδή,δεν υπάρχει θεώρημα, που να λέει, έχεις απροσδιοριστία \frac{0}{0}, τότε το όριο ισούται με 0 ή συν άπειρο ή οτιδήποτε άλλο.
Το γεγονός ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχει ένα τέτοιο θεώρημα φαίνεται από τα προηγούμενα πετυχημένα παραδείγματα, όπου η ίδια απροσδιοριστία δεν οδηγεί πάντα στο ίδιο συμπέρασμα.
Άν έχουμε λοιπόν μία απροσδιόριστη μορφή δεν ξέρουμε εκ των προτέρων τι θα συμβεί!
Δεν ξέρω αν βοήθησα;


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
Κώστας Μαλλιάκας
Δημοσιεύσεις: 512
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 24, 2009 9:25 am
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Ερωτήσεις Μαθηματικών

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Μαλλιάκας » Πέμ Φεβ 12, 2009 10:53 pm

solon28 έγραψε:Οι ερωτήσεις που θέλω να κάνω είναι δύο:

1) Γιατί ο αριθμός π λέγεται υπερβατικός; Πότε ένας αριθμός λέγεται υπερβατικός;

2)Όταν ο υπολογισμός ενός ορίου οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0/0 τότε το όριο αυτό υπάρχει πάντα και είναι πραγματικός αριθμός ή μπορεί να είναι απροσδιόριστη μορφή 0/0 και το όριο να μην υπολογίζεται;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!
Και κάτι για συμπλήρωμα στον υπερβατικό π (και e) :ονομάστηκαν υπερβατικοί γιατί "υπερέβαιναν" τις ιδιότητες των άρρητων... αφού είχαν εξαιρετικά καλές ρητές προσεγγιστικές τιμές για να είναι αλγεβρικοί άρρητοι. Επίσης πρώτα κατασκευάστηκαν τέτοιοι αριθμοί για να δείξουν ότι όντως υπάρχουν (Λιουβίλ 1844) και μετά αποδείχθηκε ότι το π (Λιντεμαν 1882) και το e είναι υπερβατικοί (Ερμίτ 1873).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης