Ενδιαφέρουσες..

Antonis Loutraris · #1

2 ενδιαφέρουσες ασκήσεις:

(1) Έστω $M,N\in\mathbb{N}.$ Υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R^{*}}$ με τις ιδιότητες
$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}$ και

$\displaystyle{f\left(\frac{k}{N}\right)=M, \forall k=0,1,\cdots, N;}$

(2) Έστω $f:[0,+\infty)\rightarrow[0,+\infty)$ φθίνουσα συνάρτηση με την ιδιότητα $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}f(x)dx<+\infty}.$
Δείξτε οτι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}xf(x)=0}.$

dr.tasos · #2

1) Για την πρώτη βλέπω πως η $f(x)=1 , \forall x \in [0,1]$
Ικανοποιέι .

#3

dr.tasos έγραψε:1) Για την πρώτη βλέπω πως η ${\color {red} f(x)=1} , \forall x \in [0,1]$
Ικανοποιέι .

Για ξαναδές το αυτό σε σύγκριση με το

Antonis Loutraris έγραψε:
$\displaystyle{{\color {red} f\left(\frac{k}{N}\right)=M}, \forall k=0,1,\cdots, N;}$

Με πρώτη ευκαιρία θα γράψω λύση.

#4

Antonis Loutraris έγραψε:
(1) Έστω $M,N\in\mathbb{N}.$ Υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R^{*}}$ με τις ιδιότητες
$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}$ και

$\displaystyle{f\left(\frac{k}{N}\right)=M, \forall k=0,1,\cdots, N;}$

Υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις. Μία η οποία ορίζεται περιγραφικά (οι ακριβείς λεπτομέρειες είναι απλό να συμπληρωθούν) είναι η ακόλουθη: Ορίζουμε την

να παίρνει την τιμή

στα $\frac {k}{N}, \, k=1,...,N$ . Στα ενδιάμεσα, από το $\frac {1}{N}$ και πέρα, την κάνουμε να πέφτει απότομα αλλά να μένει θετική, όπως στο σχήμα. Κρατάμε μικρό το εμβαδόν της από το $\frac {1}{N}$ και πέρα. Τώρα επιλέγουμε την τιμή της στο

να είναι κατάλληλο

έτσι ώστε το εμβαδόν της από το

μέχρι το $\frac {1}{N}$ να είναι όσο απαιτείται ώστε το συνολικό εμβαδόν να είναι

. Τελειώσαμε.

Αν θέλαμε μία πιο συγκεκριμένη τέτοια

μπορούμε εύκολα να βρούμε μία της μορφής $M\cos ^{2p}(2\pi Nx) + \frac {1}{2}$ από το $\frac {1}{N}$ και πέρα, και κατάλληλη (ευθεία) στο υπόλοιπο μικρό κομμάτι.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Antonis Loutraris έγραψε: (2) Έστω $f:[0,+\infty)\rightarrow[0,+\infty)$ φθίνουσα συνάρτηση με την ιδιότητα $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}f(x)dx<+\infty}.$
Δείξτε οτι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}xf(x)=0}.$

Έστω

η τιμή του ολοκληρώματος. Θέτουμε $\displaystyle{F(x)= \int_{0}^{x}f(t)dt$ οπότε $F(x) \to c$ καθώς $x\to \infty$ . Άρα, από το γεγονός ότι η

είναι φθίνουσα, έχουμε

$\displaystyle{xf(x)= 2\frac {x}{2}f(x) \le 2\int_{x/2}^{x}f(t)dt = 2 \left ( F(x)-F(x/2)\right )\to 2 \left ( c-c\right )=0}$ καθώς $x\to \infty$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ενδιαφέρουσες..

Ενδιαφέρουσες..

Re: Ενδιαφέρουσες..

Re: Ενδιαφέρουσες..

Re: Ενδιαφέρουσες..

Re: Ενδιαφέρουσες..

Μέλη σε σύνδεση