Διάστημα κλειστό και φραγμένο

Συντονιστής: emouroukos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Διάστημα κλειστό και φραγμένο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Ιαν 29, 2010 6:41 am

Φίλες και φίλοι καλημέρα. Ας δούμε και αυτό το θέμα
Έστω ένα μη κενό σύνολο A πραγματικών αριθμών, τέτοιο ώστε κάθε συνεχής συνάρτηση f:A \to A έχει σταθερό σημείο (f(x)=x). Τότε το A είναι ή μονοσύνολο ή διάστημα της μορφής [a,b], δηλαδή διάστημα κλειστό και φραγμένο.


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διάστημα κλειστό και φραγμένο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιαν 29, 2010 11:57 am

Θα δείξουμε αρχικά ότι το Α είναι διάστημα.

Ας υποθέσουμε πως δεν είναι διάστημα. Τότε (θεώρημα) δεν είναι συνδεδεμένο, δηλαδή υπάρχει διαμερισμός του Α σε δυο σύνολα Β και Γ τα οποία είναι και τα δύο ανοικτά (στην τοπολογία του Α). Τότε παίρνουμε β στο Β και γ στο Γ και ορίζουμε την συνάρτηση που στέλνει κάθε στοιχείο του Β στο γ και κάθε στοιχείο του Γ στο β. Αυτή είναι συνεχής αφού για κάθε ανοικτό υποσύνολο του Α η αντίστροφη εικόνα του είναι είτε το κενό σύνολο, είτε το Β είτε το Γ είτε το Α και όλα αυτά είναι ανοικτά.

Θα δείξουμε τώρα ότι το Α είναι φραγμένο. Αν όχι, είτε είναι της μορφής (-\infty,a) και η συνεχής συνάρτησης f(x) = x-1 δεν έχει σταθερό σημείο, είτε είναι της μορφής (a,\infty) και η συνεχής συνάρτησης f(x) = x+1 δεν έχει σταθερό σημείο.

Άρα το Α είναι της μορφής [a,b) ή (a,b] ή (a,b) ή [a,b] και μένει να αποκλείσουμε τα πρώτα τρία. Στην πρώτη και τρίτη περίπτωση κοιτάμε την f(x) = (b+x)/2 και στην δεύτερη την f(x) = (a+x)/2 για να καταλήξουμε σε άτοπο.

Άρα A = [a,b] για κάποια a,b \in \mathbb{R} με a \leqslant b.

(Αν και δεν το ζητάει η άσκηση, μπορεί να ελεγχθεί ότι κάθε συνεχής συνάρτηση από ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα στον εαυτό του έχει σταθερό σημείο.)


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διάστημα κλειστό και φραγμένο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Ιαν 29, 2010 12:30 pm

Το :logo: έχει δυνατούς λύτες :clap2: :clap2:


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης