Κάτω απ΄την οριζόντια

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Κάτω απ΄την οριζόντια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Οκτ 09, 2016 2:11 pm

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{{\rm{f}}} ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R} με \displaystyle{f''(x) < 0} για κάθε \displaystyle{x \in } \displaystyle{R} .
Έστω \displaystyle{a,b,c \in R} με \displaystyle{b < c} και έστω ότι \displaystyle{f(a) = b} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = c} .
Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x) < c} για κάθε \displaystyle{x \in R} .

Υ.Γ : Εκφώνηση με επιφύλαξη


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κάτω απ΄την οριζόντια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 09, 2016 3:20 pm

Γιώργη η εκφώνηση είναι σωστή.
Εκείνο που υπάρχει είναι ότι μπορούν να παραληφθούν υποθέσεις.
Το αφήνω έτσι γιατί μπορεί να υπάρχει πιο εύκολη λύση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κάτω απ΄την οριζόντια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 11, 2016 9:28 am

Δίνω μια λύση με βαριά εργαλεία.

Αφου f''(x)< 0 η f' είναι γνησίως φθίνουσα.

Αρα το \lim_{x\rightarrow \infty }f'(x) υπάρχει.

Επειδή \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=c

το \lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=0

Αρα f'(x)> 0 οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα.

Τελικά f(x)< c,x\epsilon \mathbb{R} το οποίο θέλαμε.

Παρατηρήσεις
1)Η συνθήκη για τα a,b δεν χρειάζεται
2)Υπάρχει και άλλη λύση με σχολική ύλη.
Αν δεν γραφεί θα επανέλθω.(πάλι δεν χρειάζεται η συνθήκη για τα a,b)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κάτω απ΄την οριζόντια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 14, 2016 7:16 pm

Να την λύσουμε με σχολική ύλη.
Αν δεν ισχύει έχουμε δύο περιπτώσεις.
Υπάρχει a\epsilon \mathbb{R} με

1)f(a)> c

2)f(a)= c και f(x)\leq c

1)Λόγω του ορίου θα υπάρχει ένα b> a

ώστεf(a)> f(b)> c

Απο ΘΜΤ υπάρχει a< s< b με f'(s)< 0

Επειδή η συνάρτηση είναι κοίλη θα έχουμε f(x)\leq f(s)+f'(s)(x-s)

Συμπεραίνουμε ότι \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=-\infty ΑΤΟΠΟ

2)Αν υπάρχει b> a ώστε f(a)> f(b) όπως στην περίπτωση 1 καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ.

Αν δεν υπάρχει τότε θα έχουμε f(x)=c για x\geq a

Τότε όμως για x\geq a θα είναι f''(x)=0 πάλι ΑΤΟΠΟ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης