Κάτω απ΄την οριζόντια

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{{\rm{f}}}$ ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ με $\displaystyle{f''(x) < 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in }$ $\displaystyle{R}$ .
Έστω $\displaystyle{a,b,c \in R}$ με $\displaystyle{b < c}$ και έστω ότι $\displaystyle{f(a) = b}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = c}$ .
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x) < c}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .

Υ.Γ : Εκφώνηση με επιφύλαξη

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γιώργη η εκφώνηση είναι σωστή.
Εκείνο που υπάρχει είναι ότι μπορούν να παραληφθούν υποθέσεις.
Το αφήνω έτσι γιατί μπορεί να υπάρχει πιο εύκολη λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Δίνω μια λύση με βαριά εργαλεία.

Αφου f''(x)< 0

η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Αρα το $\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)$ υπάρχει.

Επειδή $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=c$

το $\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=0$

Αρα f'(x)> 0

οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα.

Τελικά $f(x)< c,x\epsilon \mathbb{R}$ το οποίο θέλαμε.

Παρατηρήσεις
1)Η συνθήκη για τα a,b

δεν χρειάζεται
2)Υπάρχει και άλλη λύση με σχολική ύλη.
Αν δεν γραφεί θα επανέλθω.(πάλι δεν χρειάζεται η συνθήκη για τα a,b

)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Να την λύσουμε με σχολική ύλη.
Αν δεν ισχύει έχουμε δύο περιπτώσεις.
Υπάρχει $a\epsilon \mathbb{R}$ με

1) f(a)> c

2)

και $f(x)\leq c$

1)Λόγω του ορίου θα υπάρχει ένα b> a

ώστε

Απο ΘΜΤ υπάρχει a< s< b

με

Επειδή η συνάρτηση είναι κοίλη θα έχουμε $f(x)\leq f(s)+f'(s)(x-s)$

Συμπεραίνουμε ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=-\infty$ ΑΤΟΠΟ

2)Αν υπάρχει b> a

ώστε

όπως στην περίπτωση 1 καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ.

Αν δεν υπάρχει τότε θα έχουμε f(x)=c

για $x\geq a$

Τότε όμως για $x\geq a$ θα είναι f''(x)=0

πάλι ΑΤΟΠΟ

Κάτω απ΄την οριζόντια

Κάτω απ΄την οριζόντια

Re: Κάτω απ΄την οριζόντια

Re: Κάτω απ΄την οριζόντια

Re: Κάτω απ΄την οριζόντια

Μέλη σε σύνδεση