Εύρεση γενικού όρου ακολουθίας

#1

Ποια μέθοδο προτοιμάτε για την εύρεση του γενικού όρου της ακολουθίας : $a_{n+1}=2a_n-3, a_1=2$ και γενικά της ακολουθίας $a_{n+1}=ka_n +m, a_1=a , k\neq 1$ ;

Μπάμπης

#2

Γράφουμε

$\begin{aligned} \alpha_{\nu}&=k\,\alpha_{\nu-1}+m\\\noalign{\vspace{0.1cm}} k\,\alpha_{\nu-1}&=k^2\,\alpha_{\nu-2}+k\,m\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \dots& \dots \dots \dots\\\noalign{\vspace{0.1cm}} k^{\nu-3}\,\alpha_{3}&=k^{\nu-2}\,\alpha_{2}+k^{\nu-3}\,m\\\noalign{\vspace{0.1cm}} k^{\nu-2}\,\alpha_{2}&=k^{\nu-1}\,\alpha_{1}+k^{\nu-2}\,m\,. \end{aligned}$

και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει

$\displaystyle{\alpha_{\nu}=k^{\nu-1}\,\alpha_{1}+m\sum_{i=0}^{\nu-2}k^i}$

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ποια μέθοδο προτοιμάτε για την εύρεση του γενικού όρου της ακολουθίας : $a_{n+1}=2a_n-3, a_1=2$ και γενικά της ακολουθίας $a_{n+1}=ka_n +m, a_1=a , k\neq 1$ ;

Μπάμπης

Γεια σου Μπάμπη.

Η $a_{n+1}=ka_n +m, a_1=a , k\neq 1$

με $a_{n}=b_{n}-\dfrac{m}{k-1}$ παίρνει τη μορφή $b_{n+1}=kb_{n},b_{1}=a_{1}+\dfrac{m}{k-1}$
---------------
$a_{n+1}=2a_n-3, a_1=2$

$a_{n}=b_{n}+3\quad b_{1}=-1\quad ,b_{n+1}=2b_{n}$

#4

Καλησπέρα!

$\displaystyle{{a_2} = ka + m,{a_3} = {k^2}a + km + m,{a_4} = {k^3}a + {k^2}m + km + m,...}$

Άρα: $\displaystyle{{a_n} = a{k^{n - 1}} + m(1 + k + {k^2} +...+ {k^{n - 2}}) \Leftrightarrow }$ $\boxed{{a_n} = a{k^{n - 1}} + m\frac{{{k^{n - 1}} - 1}}{{k - 1}}}$

Ορέστης Λιγνός · #5

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ποια μέθοδο προτοιμάτε για την εύρεση του γενικού όρου της ακολουθίας : $a_{n+1}=2a_n-3, a_1=2$ και γενικά της ακολουθίας $a_{n+1}=ka_n +m, a_1=a , k\neq 1$ ;

Μπάμπης

Καλησπέρα κύριε Μπάμπη!

Μία ''παιδική'' αντιμετώπιση (δεν ξέρω και πολλά από τις ακολουθίες...).

Είναι $a_{n+1}=2a_n-3 \Leftrightarrow a_{n+1}-3=2(a_n-3)$ (1) , και έτσι στην σχέση (1) για

$n=1 \Rightarrow a_2-3=2(a_1-3)$

$n=2 \Rightarrow a_3-3=2(a_2-3)$

....

$a_n-3=2(a_{n-1}-3)$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις προηγούμενες σχέσεις και παίρνουμε $a_n-3=2^{n-1}(a_1-3) \Leftrightarrow a_n=3+2^{n-1}(a_1-3) \Leftrightarrow \boxed{a_n=3-2^{n-1}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Η μέθοδος που θα παραθέσω αν και πολύπλοκη για το συγκεκριμένο πρόβλημα
εφαρμόζεται για να μελετήσουμε ακολουθίες της μορφης $a_{n+1}=f(a_{n})$

Αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε $a_{n+1}-a_{n}=k(a_{n}-a_{n-1})$

Κάνοντας συνεχή επανάληψη καταλήγουμε στην

$a_{n+1}-a_{n}=k^{n-1}(a_{2}-a_{_{1}})$

προσθέτοντας για n=1,2,....m

παίρνουμε $a_{m}=a_{1}+(a_{2}-a_{1})\sum_{i=0}^{m-2}k^{i}=a_{1}+(a_{2}-a_{1})\frac{k^{m-1}-1}{k-1}$
όπου η τελευταία σχέση ισχύει για $k\neq 1$

Εύρεση γενικού όρου ακολουθίας

Εύρεση γενικού όρου ακολουθίας

Re: Εύρεση γενικού όρου ακολουθίας

Re: Εύρεση γενικού όρου ακολουθίας

Re: Εύρεση γενικού όρου ακολουθίας

Re: Εύρεση γενικού όρου ακολουθίας

Re: Εύρεση γενικού όρου ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση