Βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις

#1

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ όταν ισχύει: f(f(x))=x

, για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

#2

Είναι άμεσο ότι η συνάρτηση είναι 1-1.
Από τη γνωστή πρόταση 1-1 και συνεχής είναι γνήσια μονότονη.
Αν η

είναι γνήσια αύξουσα, τότε αν υπάρχει x_0

ώστε

θα έχουμε

άτοπο. Όμοια, αν f(x_0)<x_0

για κάποιο x_0

. Έπεται λοιπόν ότι f(x)=x

.

Αν η

είναι γνήσια φθίνουσα, τότε υπάρχουν άπειρες συνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν την f(f(x))=x

.
Ένας χαρακτηρισμός είναι πχ ο ακόλουθος: f(x)=2a-g(x)

όπου

είναι τέτοιο ώστε f(a)=a

και

είναι μία συνεχής 1-1 και επί $g:[a,\infty)\mapsto [a,\infty)$