Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ασύμπτωτες

dimplak · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ για την οποία ισχύει ότι $f''(x) > \frac{1}{x^2 + 1}$ .

Να δείξετε ότι η συνάρτηση

δεν έχει ασύμπτωτες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Θα δείξω ότι δεν έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$
(όμοία δουλεύουμε και στο $-\infty$ )

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$ (1)
(αλλιώς αφαιρούμε την ασύμπτωτη)

Επειδή η

είναι κυρτή έχουμε ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }xf'(x)=0$ (*)
Αποδ.
Απο ΘΜΤ έχουμε f(2x)-f(x)=xf'(c),x< c< 2x

(2)

Αλλά αφού

αύξουσα

έχουμε ότι $xf'(c)\geq xf'(x)\wedge xf'(c)\leq xf'(2x)$

Αυτές μαζί με την (2) και το ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }f(2x)-f(x)=0$

μας δίνουν το ζητούμενο.//

Απο ΘΜΤ για την xf'(x)

έχουμε

παίρνοντας όριο για $x\rightarrow \infty$ εχούμε ότι

$\liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)+xf'(x)\leq0$

Αρα λόγω της(*) $\liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)\leq0$

Δείξαμε λοιπόν ότι αν η

είναι κυρτή και $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$
δηλαδή έχει την y=0

ασύπτωτη τότε

$\liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)\leq0$

Για την συνάρτηση που έχουμε είναι $\liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)\geq1$ και κυρτή άρα δεν μπορεί να έχει ασύμπτωτη.

Συμπλήρωμα.1)Εσβησα κάτι από το κείμενο που δεν ήταν ορθό αλλά και δεν χρειαζόταν .
2)Επειδή $f''(x)\geq 0$ (κυρτότητα) τελικά είναι $\liminf_{x\rightarrow \infty }x^{2}f''(x)=0$

dement · #3

Διαφορετικά:
Για κατακόρυφες δεν γίνεται λόγος αφού εκεί η

δεν θα ήταν συνεχής.

Έστω y = ax + b

ασύμπτωτη στο $+ \infty$ (ομοίως για το $- \infty$ με την f(-x)

).

Θεωρούμε την $\displaystyle g(x) \equiv f(x) - ax - x \left( \tan^{-1}x - \frac{\pi}{2} \right) + \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1)$ η οποία είναι γνησίως κυρτή από το δεδομένο.
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x \left( \tan^{-1}x - \frac{\pi}{2} \right) = -1$ .

Έχουμε $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \left( g(x) - \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) \right) = \lim_{x \to + \infty} \left( f(x) - ax - x \left( \tan^{-1}x - \frac{\pi}{2} \right) \right) =$
= b + 1

, οπότε ισχύει $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$ . Aυτό όμως, μαζί με την κυρτότητα της

, συνεπάγεται ότι, για μεγάλα

, η $\displaystyle g(x) - \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1)$ γίνεται κυρτή και αύξουσα οπότε $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \left( g(x) - \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) \right) = + \infty \neq b+1$ και έχουμε άτοπο.

Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ασύμπτωτες

Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ασύμπτωτες

Re: Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ασύμπτωτες

Re: Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ασύμπτωτες

Μέλη σε σύνδεση