Όριο στο άπειρο

M.S.Vovos · #1

Έστω η ομαλή συνάρτηση $f:[0,+\infty ) \rightarrow \mathbb{R}$ . Έστω n=2,3,...

αν $f^{(n-1)}(0)>0$ και για κάθε $x\geqslant 0$ ισχύει $f^{(n)}(x)\geqslant 0$ , τότε:
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty }$ Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε:Έστω η ομαλή συνάρτηση $f:[0,+\infty ) \rightarrow \mathbb{R}$ . Έστω αν $f^{(n-1)}(0)>0$ και για κάθε $x\geqslant 0$ ισχύει $f^{(n)}(x)\geqslant 0$ , τότε:
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty }$

Νομίζω ότι είναι πολύ τεχνιτή και επιτηδευμένη άσκηση, που κάνει τα εύκολα δύσκολα:

Μπορούμε να την λύσουμε μόνο με τις υποθέσεις f{'}(0)>0

και για κάθε $x\geqslant 0$ ισχύει $f^{(2)}(x)\geqslant 0.$

Λύση.

Από την δεύτερη, η

είναι αύξουσα. Από Θ.Μ.Τ. για κάθε

είναι

$\displaystyle{f(x) = f(0) + f'(\xi )(x-0) \ge f(0) + f'(0 )(x-0) \to \infty}$

M.S.Vovos · #3

Κύριε Μιχάλη, δεν κατάλαβα γιατί λύνεται μόνο για n=2

. Μπορείτε να το εξηγήσετε ξανά;

Με εκτίμηση,
Μάριος

#4

M.S.Vovos έγραψε: γιατί λύνεται μόνο για

Μάριε, δεν είπα ακριβώς αυτό. Μας χρειάζεται και το f'(0) >0

.

Η υπόθεση για n=2

, δηλαδή $f^{(2)}(x) \ge 0$ χρειάζεται για να πούμε ότι η

είναι αύξουσα. Χρησιμοποιήθηκε στο βήμα $f'(\xi) \ge f'(0) > 0$ .

Όριο στο άπειρο

Όριο στο άπειρο

Re: Όριο στο άπειρο

Re: Όριο στο άπειρο

Re: Όριο στο άπειρο

Μέλη σε σύνδεση