Ανισότητα με ολοκλήρωμα (+Άλγεβρα)

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Ανισότητα με ολοκλήρωμα (+Άλγεβρα)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Αύγ 17, 2017 9:02 pm

Να αποδείξετε ότι :

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (x \cdot cotx)^{2n}dx \geq \frac{\pi +2n}{2^{n+2}} , για κάθε n \in N.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1749
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα (+Άλγεβρα)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Νοέμ 10, 2017 6:59 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Πέμ Αύγ 17, 2017 9:02 pm
Να αποδείξετε ότι :

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (x \cdot cotx)^{2n}dx \geq \frac{\pi +2n}{2^{n+2}} , για κάθε n \in N.
Θέτουμε I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (x \cdot cotx)^{2n}dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} ( \frac{x}{\tan x})^{2n}dx=\int_{0}^{1}(\frac{\arctan t}{t})^{2n}\frac{1}{1+t^{2}}dt
(στο τελευταίο κάναμε αλλαγή μεταβλητής)

Εφαρμόζοντας Holder έχουμε

\int_{0}^{1}(\frac{\arctan t}{t})\frac{1}{\sqrt[2n]{1+t^{2}}}dt\leq (I_{n})^{\frac{1}{2n}}
(η μία συνάρτηση είναι η 1 και η μία δύναμη 2n)
προκύπτει ότι

I_{n}\geq (\int_{0}^{1}(\frac{\arctan t}{t})\frac{1}{\sqrt[2n]{1+t^{2}}}dt)^{2n}\geq \frac{1}{2}(\int_{0}^{1}(\frac{\arctan t}{t})dt)^{2n}

Επειδή t\in [0,1]\Rightarrow \dfrac{\arctan t}{t}\geq 1-\dfrac{t^{2}}{3}

υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα παίρνουμε

I_{n}\geq \frac{1}{2}(\frac{8}{9})^{2n}=b_{n}

Ενας υπολογισμός δίνει ότι b_{4}\geq 0,19> 0,1875=\frac{12}{64}=\frac{4+2.4}{2^{4+2}}

Επαγωγικά δείχνουμε ότι n\geq 4\Rightarrow b_{n}\geq \frac{4+2n}{2^{n+2}}>\frac{\pi +2n}{2^{n+2}}

Ετσι έχουμε το αποτέλεσμα για n\geq 4

Για n=1,2,3 είναι πράξεις οι οποίες δεν δακτυλογραφούνται.

Τουλάχιστον όπως τα έκανα εγώ.


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα (+Άλγεβρα)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Σάβ Νοέμ 11, 2017 3:18 pm

Καλησπέρα κύριε Παπαδόπουλε, σας ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση και τη λύση.

Βάζω και τη δικιά μου..

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[xcotx]^{2n}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[x \frac{cosx}{sinx}]^{2n}dx \geq \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[cosx]^{2n}dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[cos^{2}x]^{n}dx=

=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{8}}[cos^{2}(2y)]^{n}dy=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{8}}[\frac{1+cos(4y)}{2}]^{n}dy = 2^{1-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{8}}[1+cos(4y)]^{n}dy \geq

 \geq 2^{1-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{8}}[1+ncos(4y)]dy = 2^{1-n} [y+\frac{nsin(4y)}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{8}} = \frac{\pi+2n}{2^{n+2}}.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες