Συναρτησιακή και μεγιστοποίηση

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή και μεγιστοποίηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Σεπ 30, 2017 7:26 pm

Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου \displaystyle ABCD αν τα \displaystyle A,B βρίσκονται στη γραφική παράσταση της \displaystyle f(x)
για την οποία ισχύει \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8,\displaystyle x\in R και τα \displaystyle C,D πάνω στον \displaystyle {x}'x


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή και μεγιστοποίηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 01, 2017 1:53 am

exdx έγραψε:
Σάβ Σεπ 30, 2017 7:26 pm
Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου \displaystyle ABCD αν τα \displaystyle A,B βρίσκονται στη γραφική παράσταση της \displaystyle f(x)
για την οποία ισχύει \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8,\displaystyle x\in R και τα \displaystyle C,D πάνω στον \displaystyle {x}'x
Είναι εύκολο να δούμε ότι η f είναι άρτια ,f(x)> 0,και γνησίως φθίνουσα στο [0,\infty ).

Ετσι αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το g(x)=xf(x),x> 0

Είναι g(0)=0, \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=0

Έχουμε g'(x)=f(x)+f'(x)x

Επειδή f'(x)=-\dfrac{2xf(x)}{3f^{2}(x)+x^{2}}
(θεωρώ ότι δεν χρειάζεται να δειχθεί η παραγωγισιμότητα)

παίρνουμε ότι g'(x)=\dfrac{3f^{3}(x)-x^{2}f(x)}{3f^{2}(x)+x^{2}}

Χρησιμοποιώντας την σχέση που ορίζει την f παίρνουμε ότι

η g' μηδενίζεται όταν f^{3}(x)=2

Ετσι παίρνουμε ότι η g' μηδενίζεται για x=\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}

Εκεί παίρνει μέγιστη τιμή που είναι \sqrt[3]{2}\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}

οπότε το μέγιστο εμβαδό είναι 2\sqrt[3]{2}\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Συναρτησιακή και μεγιστοποίηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Οκτ 01, 2017 11:38 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Οκτ 01, 2017 1:53 am
exdx έγραψε:
Σάβ Σεπ 30, 2017 7:26 pm
Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου \displaystyle ABCD αν τα \displaystyle A,B βρίσκονται στη γραφική παράσταση της \displaystyle f(x)
για την οποία ισχύει \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8,\displaystyle x\in R και τα \displaystyle C,D πάνω στον \displaystyle {x}'x
Είναι εύκολο να δούμε ότι η f είναι άρτια ,f(x)> 0,και γνησίως φθίνουσα στο [0,\infty ).

Ετσι αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το g(x)=xf(x),x> 0

Είναι g(0)=0, \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=0

Έχουμε g'(x)=f(x)+f'(x)x

Επειδή f'(x)=-\dfrac{2xf(x)}{3f^{2}(x)+x^{2}}
(θεωρώ ότι δεν χρειάζεται να δειχθεί η παραγωγισιμότητα)

παίρνουμε ότι g'(x)=\dfrac{3f^{3}(x)-x^{2}f(x)}{3f^{2}(x)+x^{2}}

Χρησιμοποιώντας την σχέση που ορίζει την f παίρνουμε ότι

η g' μηδενίζεται όταν f^{3}(x)=2

Ετσι παίρνουμε ότι η g' μηδενίζεται για x=\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}

Εκεί παίρνει μέγιστη τιμή που είναι \sqrt[3]{2}\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}

οπότε το μέγιστο εμβαδό είναι 2\sqrt[3]{2}\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}
Θα μπορούσαμε να πολλαπλασιάσουμε την αρχική σχέση με f(x)
Ετσι θα είχαμε x^2 f^2(x)=8f(x)-f^4(x)
και μετά βγαίνουν τα ίδια


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες