Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα
Συντονιστής: emouroukos
Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα
Έστω συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι η είναι κυρτή αν και μόνο αν για κάθε διάστημα .
Φιλικά,
Μάριος
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα
Έστω η κυρτή. Τότε, για κάθε ισχύει . Ολοκληρώνουμε για από ως και παίρνουμε
Έστω η μη κυρτή. Τότε θα υπάρχουν με . Ονομάζουμε και ορίζουμε τη συνάρτηση . Η είναι συνεχής και ισχύει . Έστω με . Λόγω του προηγουμένου, . Παίρνουμε με και τέτοιο ώστε το να μην είναι μονοσύνολο (υπάρχει λόγω συνέχειας). Παρατηρούμε ότι από όπου έπεται το ζητούμενο.
Έστω η μη κυρτή. Τότε θα υπάρχουν με . Ονομάζουμε και ορίζουμε τη συνάρτηση . Η είναι συνεχής και ισχύει . Έστω με . Λόγω του προηγουμένου, . Παίρνουμε με και τέτοιο ώστε το να μην είναι μονοσύνολο (υπάρχει λόγω συνέχειας). Παρατηρούμε ότι από όπου έπεται το ζητούμενο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες