Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Πέμ Ιαν 18, 2018 10:28 pm

Θεωρούμε f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} 2 φορές παραγωγίσιμη και ισχύει
f''(x)+f(x)>0 , \forall x \in\mathbb{R}
Έστω r_1,r_2 : f(r_1)=f(r_2)=0 ,f’(r_1)>0
Tότε να αποδειχθεί ότι |r_1-r_2|>2.

Edit : Είχα ξεχάσει δεδομένο .



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Ιαν 19, 2018 12:20 pm

Έστω x_0 \in [r_1,r_2] με f(x_0) μέγιστο. Ισχύει x_0 \notin \{ r_1, r_2 \} αφού f'(r_1) > 0. Από ΘΜΤ υπάρχει \xi_1 \in (r_1, x_0) με \displaystyle f'(\xi_1) = \frac{f(x_0)}{x_0 - r_1} και \xi_2 \in (x_0, r_2) με \displaystyle f'(\xi_2) = - \frac{f(x_0)}{r_2 - x_0}. Έτσι, πάλι από ΘΜΤ, υπάρχει \xi_3 \in (\xi_1, \xi_2) με \displaystyle f''(\xi_3) = \frac{f(x_0)}{\xi_2 - \xi_1} \left( - \frac{1}{r_2-x_0} - \frac{1}{x_0-r_1} \right) < - \frac{f(x_0)}{\xi_2-\xi_1} \frac{4}{r_2-r_1} < - \frac{4 f(x_0)}{(r_1-r_2)^2}.

Αφού όμως f(x_0) \geqslant f(\xi_3) > - f''(\xi_3), έχουμε \displaystyle f''(\xi_3) < \frac{4 f''(\xi_3)}{(r_1-r_2)^2} και, λαμβάνοντας υπόψη ότι f''(\xi_3)<0, παίρνουμε |r_1-r_2|>2.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Παρ Ιαν 19, 2018 7:24 pm

H f παρουσιάζει μέγιστοf_{max}=f(x_0)>0 ,x_0 \in (r_1,r_2) .


f'(r_1)>0 , f''(r_1)>0 , f'(x_0)=0 \Rightarrow \exists \xi _1\in(0,x_0): 
f'(\xi _1)=f'{max}(x\in[0,x_0])\geq \frac{f(x_0)-f(r_1)}{x_0-r_1}>0

Ακόμα πρέπει να \exists r_3 \in (r_1,r_3]:f(r_3)=0,f''(r_3)>0 , f'(r_3)\leq 0
άρα \exists \xi _2\in(x_0,r_3):f'(\xi _2)=f'{min}(x\in[x_0,r_3])\leq \frac{f(r_3)-f(x_0)}{r-3-x_0}<0

Έστω οι εφαπτομένες ,e_1,e_2 της C_f στα A(\xi_1,f(\xi_1)) ,B(\xi_2,f(\xi_2))
e_1\cap x'x\equiv K(x_k,0) ,x_k\in(r_1,x_0) και e_2\cap x'x\equiv L(x_l,0) ,x_l\in(x_0,r_3)
και e_1\cap e_2\equiv M με y_m \geq f_{max}

Aν δεν ισχύουν καταλήγουμε σε άτοπο.

Έστω c_1= x_0-x_k , c_2= r_3-x_l

Από ΘΜΤ για την f'' στο (\xi_1,\xi_2)

 \Rightarrow \exists \xi_3 \in (\xi_1,\xi_2)\subset (x_k,x_l): f''(\xi_3)=\frac{-\frac{y_m}{c_2}-\frac{y_m}{c_1}}{\xi_2-\xi_1}


Αν c_1+c_2\leq 2\Rightarrow \frac{-\frac{y_m}{c_2}-\frac{y_m}{c_1}}{c_2+c_1}+y_m< 0

\frac{-\frac{y_m}{c_2}-\frac{y_m}{c_1}}{c_2+c_1}+y_m >f''(\xi_3)+f(\xi_3)

\Rightarrow f''(\xi_3)+f(\xi_3)<0
AΤΟΠΟ

Άρα c_1+c_2>2 \Rightarrow |r_1-r_2|>2

Θα μπορούσαμε να βρούμε καλύτερο φράγμα ;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3228
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 19, 2018 8:04 pm

mikemoke έγραψε:
Πέμ Ιαν 18, 2018 10:28 pm
Θεωρούμε f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} 2 φορές παραγωγίσιμη και ισχύει
f''(x)+f(x)>0 , \forall x \in\mathbb{R}
Έστω r_1,r_2 : f(r_1)=f(r_2)=0 ,f’(r_1)>0
Tότε να αποδειχθεί ότι |r_1-r_2|>2.

Edit : Είχα ξεχάσει δεδομένο .
Για πιο καλό φράγμα καθώς και άνω φράγματα δες
viewtopic.php?f=61&t=60839


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης