Όριο με ολοκλήρωμα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο με ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 22, 2018 1:52 pm

Δεν είμαι σίγουρος ότι λύνεται με Λυκειακή ύλη για αυτό το τοποθετώ εδώ....

Έστω \alpha>0. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell  = \lim_{\alpha \rightarrow 0^+} \frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha \sqrt{\frac{\alpha-x}{x}} \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο με ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 22, 2018 4:46 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Μάιος 22, 2018 1:52 pm
Δεν είμαι σίγουρος ότι λύνεται με Λυκειακή ύλη για αυτό το τοποθετώ εδώ....

Έστω \alpha>0. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell  = \lim_{\alpha \rightarrow 0^+} \frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha \sqrt{\frac{\alpha-x}{x}} \, \mathrm{d}x}

Δεν είναι θέμα με τι λύνεται.
Το ολοκλήρωμα είναι γενικευμένο και από όσο γνωρίζω δεν τα κάνουν στο Λύκειο.
(Βέβαια σε αυτόν τον Μαθηματικό κόσμο του Λυκείου για τίποτα δεν μπορείς να είσαι σίγουρος)


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο με ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 22, 2018 5:07 pm

Πάντως το όριο κάνει \frac{\pi}{2}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο με ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 22, 2018 6:38 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Μάιος 22, 2018 1:52 pm
Δεν είμαι σίγουρος ότι λύνεται με Λυκειακή ύλη για αυτό το τοποθετώ εδώ....

Έστω \alpha>0. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell  = \lim_{\alpha \rightarrow 0^+} \frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha \sqrt{\frac{\alpha-x}{x}} \, \mathrm{d}x}
Εδώ το όριο είναι ''παπούτσι'

Και για μην παρεξηγηθώ είναι έκφραση ''παλαίων'' μαθηματικών που σημαίνει:

παραπλανητικό ,δεν έχει σχέση με την επίλυση.

Ας το δούμε.

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής x=a(\sin t)^{2}

το ολοκλήρωμα γίνεται

\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{\sqrt{a}\cos t 2a \cos t \sin t }{\sqrt{a}\sin t}dt=2a\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\cos t)^{2}dt=2a\frac{\pi }{4}=a\frac{\pi }{2}

Ετσι η παράσταση για a>0 είναι \frac{\pi }{2}

Το όριο απλά είναι για να υπάρχει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης