Σταθερή συνάρτηση

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σταθερή συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μάιος 27, 2018 12:06 pm

Έστω f:(0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε f(2x)=f(x) για κάθε x \in (0, +\infty). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση

\displaystyle{g(x) = \int_x^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t \quad \text{\gr για κάθε} \; x>0}
είναι σταθερή.


Τη βάζω εδώ για να δούμε και διαφορετικές λύσεις πέρα από το g'(x)=0 κτλ. Πόσες μπορούμε να δώσουμε;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιουν 02, 2018 10:11 pm

Επαναφορά .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιουν 08, 2018 1:10 pm

Είναι \displaystyle  g(y) - g(x) = \int_{y}^{2y} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t - \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t = \int_{y}^{x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t - \int_{2y}^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t

Όμως

\displaystyle  \int_{2y}^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t = \int_{y}^{x} \frac{f(2s)}{2s} \, 2\,\mathrm{d}s = \int_{y}^{x} \frac{f(2s)}{s} \, \mathrm{d}s = \int_{y}^{x} \frac{f(s)}{s} \, \mathrm{d}s

Άρα g(y) = g(x) και η g είναι σταθερή.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιουν 08, 2018 8:24 pm

:clap2: :clap2: :clap2:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2236
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Ιούλ 25, 2018 8:49 am

\displaystyle{f(2x)=f(x)=...=f(x/2^n)}

Επειδή \displaystyle{f} συνεχής παίρνοντας ορια του \displaystyle{n\to +\infty} προκύπτει \displaystyle{f(x)=f(0)}

άρα \displaystyle{g(x)=f(0)\int_{x}^{2x}{1/tdt}=f(0)ln2=c}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 25, 2018 12:03 pm

Ροδόλφε, η f δεν ορίζεται και άρα δεν είναι συνεχής στο 0.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2236
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Ιούλ 25, 2018 5:17 pm

Σωστά αβλεψία μου


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες