Σταθερή συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:(0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε f(2x)=f(x)

για κάθε $x \in (0, +\infty)$ . Να δειχθεί ότι η συνάρτηση

$\displaystyle{g(x) = \int_x^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t \quad \text{\gr για κάθε} \; x>0}$
είναι σταθερή.

Τη βάζω εδώ για να δούμε και διαφορετικές λύσεις πέρα από το κτλ. Πόσες μπορούμε να δώσουμε;

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά .

#3

Είναι $\displaystyle g(y) - g(x) = \int_{y}^{2y} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t - \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t = \int_{y}^{x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t - \int_{2y}^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t$

Όμως

$\displaystyle \int_{2y}^{2x} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t = \int_{y}^{x} \frac{f(2s)}{2s} \, 2\,\mathrm{d}s = \int_{y}^{x} \frac{f(2s)}{s} \, \mathrm{d}s = \int_{y}^{x} \frac{f(s)}{s} \, \mathrm{d}s$

Άρα g(y) = g(x)

και η

είναι σταθερή.

Tolaso J Kos · #4

#5

$\displaystyle{f(2x)=f(x)=...=f(x/2^n)}$

Επειδή $\displaystyle{f}$ συνεχής παίρνοντας ορια του $\displaystyle{n\to +\infty}$ προκύπτει $\displaystyle{f(x)=f(0)}$

άρα $\displaystyle{g(x)=f(0)\int_{x}^{2x}{1/tdt}=f(0)ln2=c}$

#6

Ροδόλφε, η

δεν ορίζεται και άρα δεν είναι συνεχής στο

.

#7

Σωστά αβλεψία μου

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση