ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Με αφορμή αυτό viewtopic.php?f=53&t=62341

Δίνεται η οικογένεια συναρτήσεων $f_a(x)=2e^{x-a}-x^2,x>0,a>1$ η οποία έχει δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων

x_1,x_2

με $x_1\in(0,1)$ και $x_2\in(a,+\infty ).$ Συμβολίζουμε x_1:=x_1(a),x_2:=x_2(a)

τις θέσεις όταν παράμετρος είναι το

. Να δειχθεί ότι ισχύουν τα παρακάτω:

α. $f_{a_1} (x_1(a_1))>f_{a_2} (x_1(a_2))$

b. $f_{a_1} (x_2(a_1))>f_{a_2} (x_2(a_2))$

όπου a_2>a_1.

mikemoke · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 11, 2018 4:17 pm
Με αφορμή αυτό viewtopic.php?f=53&t=62341

Δίνεται η οικογένεια συναρτήσεων $f_a(x)=2e^{x-a}-x^2,x>0,a>1$ η οποία έχει δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων

με $x_1\in(0,1)$ και $x_2\in(a,+\infty ).$ Συμβολίζουμε

τις θέσεις όταν παράμετρος είναι το . Να δειχθεί ότι ισχύουν τα παρακάτω:

α. $f_{a_1} (x_1(a_1))>f_{a_2} (x_1(a_2))$

b. $f_{a_1} (x_2(a_1))>f_{a_2} (x_2(a_2))$

όπου

$\forall x> 0(a_2>a_1\Rightarrow f_{a_1}(x)>f_{a_2}(x))\Rightarrow f_{a_1}(x_1(a_2))>f_{a_2}(x_1(a_2))\wedge f_{a_1}(x_2(a_1))>f_{a_2}(x_2(a_1))$ (1)

$\forall x\in (0,1] f_{a_1}(x_1(a_1))\geq f_{a_1}(x) \wedge x_1(a_2)\in (0,1)\Rightarrow f_{a_1}(x_1(a_1))\geq f_{a_1}(x_1(a_2))$ (2)

$\forall x\in[a,+\infty) f_{a_2}(x)\geq f_{a_2}(x_2(a_2)) \wedge x_2(a_1)>a \Rightarrow f_{a_2}(x_2(a_1))\geq f_{a_2}(x_2(a_2))$ (3)

Από (1),(2), (3) έχουμε το ζητούμενο.

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Μέλη σε σύνδεση