Κυρτή-κυρτό

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Για αποφυγή παρεξηγήσεων παραθέτω τους ορισμούς.

Η $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
είναι κυρτή αν και μόνο αν
Για κάθε $x,y\in \mathbb{R},\lambda \in [0,1]$
είναι $f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

Το $A\subseteq \mathbb{R}^{2}$
είναι κυρτό αν και μόνο αν
Για κάθε $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in A,\lambda \in [0,1]$
είναι $(\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2})\in A$

Να δειχθεί ότι:

Αν $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ και $A=\left \{ (x,y):y\geq f(x) \right \}$

τότε

κυρτή αν και μόνο αν

κυρτό

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 20, 2018 9:45 pm
Για αποφυγή παρεξηγήσεων παραθέτω τους ορισμούς.

Η $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
είναι κυρτή αν και μόνο αν
Για κάθε $x,y\in \mathbb{R},\lambda \in [0,1]$
είναι $f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

Το $A\subseteq \mathbb{R}^{2}$
είναι κυρτό αν και μόνο αν
Για κάθε $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in A,\lambda \in [0,1]$
είναι $(\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2})\in A$

Να δειχθεί ότι:

Αν $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ και $A=\left \{ (x,y):y\geq f(x) \right \}$

τότε κυρτή αν και μόνο αν κυρτό

$(\Rightarrow )$ . Έστω

κυρτή και έστω $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in A,\lambda \in [0,1]$ . Τότε εξ υποθέσεως
$y_1\geq f(x_1), \, y_2\geq f(x_2)$ οπότε

$\lambda y_1+ (1-\lambda) y_2\geq \lambda f(x_1)+ (1-\lambda)f(x_2) \geq f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)$

Άρα, εξ ορισμού του

, είναι $(\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2})\in A$ , όπως θέλαμε.

$(\Leftarrow )$ . Έστω

κυρτό και έστω $x_1,x_2\in \mathbb{R},\lambda \in [0,1]$ . Θέτω $y_1=f(x_1), \, y_2=f(x_2)$ οπότε
$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in A$ (με ισότητα στον ορισμό). Άρα $(\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2})\in A$ ,
που σημαίνει

$\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2}\geq f(\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2})$ ή αλλιώς

$\lambda f(x_{1})+(1-\lambda )f(x_{2})\geq f(\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2})$ , όπως θέλαμε.

Κυρτή-κυρτό

Κυρτή-κυρτό

Re: Κυρτή-κυρτό

Μέλη σε σύνδεση