Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

dimkalist93 · #1

Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

$\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i$

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;
Θα περίμενα το παρακάτω σαν σωστή ισότητα
$Εικόνα$

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

gdimitris έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 04, 2018 2:17 am
Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

$\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i$

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;..

Η πρώτη ισότητα $\frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{1}{\Delta V}\int_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV$ είναι εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής για ολοκληρώματα (εξ ου και το "προσέγγιση"). Για την δεύτερη ισότητα θα πρέπει να διευκρινιστεί τι είναι τα $A, \; A^x$ , αν και μοιάζει σαν εφαρμογή του θεωρήματος απόκλισης με δεδομένη κάποια συνθήκη, η οποία δεν αναφέρεται στην δημοσίευση.

dimkalist93 · #3

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 04, 2018 7:47 am

gdimitris έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 04, 2018 2:17 am
Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

$\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i$

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;..
Η πρώτη ισότητα $\frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{1}{\Delta V}\int_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV$ είναι εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής για ολοκληρώματα (εξ ου και το "προσέγγιση"). Για την δεύτερη ισότητα θα πρέπει να διευκρινιστεί τι είναι τα $A, \; A^x$ , αν και μοιάζει σαν εφαρμογή του θεωρήματος απόκλισης με δεδομένη κάποια συνθήκη, η οποία δεν αναφέρεται στην δημοσίευση.

Ευχαριστώ για την απάντηση όμως υπάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνω,
1)Γιατί το παραπάνω είναι εφαρμογή του θεωρηματος της μεσης τιμης και δεν ειναι αυτο που παραθέτω παρακάτω
$Εικόνα$

2)Επίσης, ισως κάτι δεν έχει γινει κατανοητό απο μέρους μου, η έκφραση $Εικόνα$ ειναι αριθμός, σωστά;
Η $Εικόνα$ ειναι αριθμός ή συνάρτηση ?

#4

gdimitris έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 04, 2018 10:44 am
Ευχαριστώ για την απάντηση όμως υπάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνω,
1)Γιατί το παραπάνω είναι εφαρμογή του θεωρηματος της μεσης τιμης και δεν ειναι αυτο που παραθέτω παρακάτω
$Εικόνα$

2)Επίσης, ισως κάτι δεν έχει γινει κατανοητό απο μέρους μου, η έκφραση $Εικόνα$ ειναι αριθμός, σωστά;
Η $Εικόνα$ ειναι αριθμός ή συνάρτηση ?

1) Αυτό που αναφέρεις σαν θεώρημα μέσης τιμής έχει το σύμβολο $\int$ που δεν σημαίνει τίποτα άλλο παρά αντιπαραγώγιση. Το θ.μ.τ. αφορά ολοκλήρωση σε "διάστημα" (χωρίο) και είναι αυτό που δίνει την "προσέγγιση".

2) Στην εξίσωση $\frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{1}{\Delta V}\int_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV$ , θεωρώντας δεδομένο ότι έχει (μαθηματικώς) νόημα, πρέπει το ολοκλήρωμα να εκφράζεται σαν συνάρτηση του

.

3) Αλλά βέβαια, για να για να γίνει κατανοητή η ερώτησή σου θα έπρεπε να παραθέσεις πλήρως τις μαθηματικές έννοιες, όρους, ορισμούς, που ενυπάρχουν στην συγκεκριμένη εξίσωση.

4) Επίσης, οι μαθηματικοί τύποι, από τον κανονισμό, πρέπει να είναι γραμμένοι σε LaTeX και όχι "εμφυτευμένες" εικόνες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

gdimitris έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 04, 2018 2:17 am
Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

$\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i$

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;
Θα περίμενα το παρακάτω σαν σωστή ισότητα
$Εικόνα$

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Η πρώτη ισότητα ισχύει σίγουρα αν η $\frac{\partial\varphi }{\partial x}$
είναι αρμονική συνάρτηση.
Για τις άλλες δεν έχω γνώμη γιατί υπάρχουν σύμβολα που δεν γνωρίζω τι είναι.
Απλά να σημειώσω ότι οι μηχανικοί χρησιμοποιούν συμβολισμούς διαφορετικούς από τους μηχανικούς.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 04, 2018 1:56 pm

gdimitris έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 04, 2018 2:17 am
Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

$\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i$

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;
Θα περίμενα το παρακάτω σαν σωστή ισότητα
$Εικόνα$

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Η πρώτη ισότητα ισχύει σίγουρα αν η $\frac{\partial\varphi }{\partial x}$
είναι αρμονική συνάρτηση.
Για τις άλλες δεν έχω γνώμη γιατί υπάρχουν σύμβολα που δεν γνωρίζω τι είναι.
Απλά να σημειώσω ότι οι μηχανικοί χρησιμοποιούν συμβολισμούς διαφορετικούς από τους μαθηματικούς.

Al.Koutsouridis · #7

Από μια γρήγορη ματιά που έριξα η μέθοδος (το κομμάτι της αρχικής δημοσίευσης) μάλλον εμπερικλείεται στα εξής:

Διαμερίζουμε το χώρο του προβλήματος που μελετάμε (διάχυσης, θερμικής μεταφοράς κτλ) σε στοιχεία πεπερασμένου όγκου. Δημιούργουμε έτσι ένα πλέγμα. Το αναφερόμενο κομμάτι στην αρχική δημοσίευση έχει να κάνει κυρίως με τον υπόλογισμο του gradient ανάδελτα μιας ποσότητας $\varphi$ υπολογιστικά.

Το σημείο έναρξης είναι ο ορισμός της μέσης απόκλισης πάνω στο στοιχείο πεπερασμένου όγκου με κεντροειδές (κέντρο μάζας ή ότι άλλο βολεύει στο πρόβλημα)

και όγκου $C_{V}$

$\displaystyle \overline {\nabla \varphi_{C}} = \dfrac{1}{V_{C}} \int_{V_{C}} \nabla \varphi \mathrm{d}V$

Ύστερα, όπως προανφέρθηκε, με το θεώρημα απόκλισης το ολοκλήρωμα όγκου μετασηματίζεται σε επιφανειακό ολοκλήρωμα

$\displaystyle \overline{ \nabla \varphi_{C}} = \dfrac{1}{V_{C}} \int_{\partial V_{C}} \varphi \mathrm{d} S$

όπου $\mathrm{d} S$ είναι το προς τα έξω κατευθυνόμενο διάνυσμα επιφανείας. Σε περίπτωση που το πεπερασμένο στοιχείο όγκου μας έχει διακριτές "έδρες" (faces) η παραπάνω σχέση γράφεται

$\displaystyle \overline{ \nabla \varphi_{C}} = \dfrac{1}{V_{C}} \sum_{\partial V_{C}} \int_{face} \varphi \mathrm{d} S$

μετά το ολοκλήρωμα πάνω στην κάθε έδρα προσεγγίζεται μέσο π.χ. midpoint integration rule για να γίνει ίσο με την τιμή της παρεμβολής του πεδίου προς μελέτη πολλαπλασιαμένο με το εμβαδό της έδρας

$\displaystyle \overline{ \nabla \varphi_{C}} = \dfrac{1}{V_{C}} \sum_{\partial V_{C}}\overline{ \varphi_{f}}S_{f}$

Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

Μέλη σε σύνδεση