ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Aladdin · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_1^2 {{x^2} \cdot \sqrt {1 + \frac{1}{{4x}}} dx}$

Tolaso J Kos · #2

Aladdin έγραψε: Παρ Δεκ 14, 2018 11:47 am Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_1^2 {{x^2} \cdot \sqrt {1 + \frac{1}{{4x}}} dx}$

Δε ξέρω αν έχεις λύση ή ψάχνεις λύση αλλά πολλές πράξεις βλέπω στον ορίζοντα. Με το λίγο που το κοίταξα η αντικατάσταση $u=1+\frac{1}{4x}$ δίδει:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int x^2 \sqrt{1+\frac{1}{4x}} \, \mathrm{d}x &\overset{u=1+1/4x}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!}-\frac{1}{16} \int \left ( \frac{1}{u-1} \right )^2 \frac{\sqrt{u}}{4\left ( u-1 \right )^2} \, \mathrm{d}u \\ &=-\frac{1}{64} \int \frac{\sqrt{u}}{\left ( u-1 \right )^4} \, \mathrm{d}u \end{aligned}}$
Από δω και πέρα όποιος θέλει ας ασχοληθεί.

#3

Aladdin έγραψε: Παρ Δεκ 14, 2018 11:47 am Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_1^2 {{x^2} \cdot \sqrt {1 + \frac{1}{{4x}}} dx}$

Αλλιώς: Το αόριστο ολοκλήρωμα γράφεται $\displaystyle \int {{x} \sqrt {x + \frac{1}{{4}}} \,dx =\int {{x} \sqrt {\left (x + \dfrac{1}{{8}}\right ) ^2 - \dfrac{1}{{64}}} \, dx}$ . Η αλλαγή μεταβλητής $x + \frac{1}{{8}} = \dfrac{y}{{8}}$ το ανάγει στη εύρεση του

$\displaystyle \int {(y-1) \sqrt {y^2-1} \,dy = \int {{y} \sqrt {y^2-1} \,dy - \int \sqrt {y^2-1} \,dy$

To πρώτο είναι $\displaystyle{ \frac {1}{3}(y^2-1)^{3/2}+c}$ (άμεσο). Το δεύτερο είναι αρκετά γνωστό και βγαίνει με πολλούς τρόπους, π.χ. αλλαγή μεταβλητής $\,\, y=\sec \theta$ ή $y = \cosh t$ και άλλες. Δίνει $\displaystyle{ \frac {1}{2}y\sqrt {y^2-1} -\frac {1}{2} \ln(y +\sqrt {y^2-1} )+c}$

Aladdin · #4

Τέλειο! ευχαριστώ!!

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Μέλη σε σύνδεση