Ψάχνουμε τον εκθέτη

Συντονιστής: emouroukos

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 541
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ψάχνουμε τον εκθέτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Ιαν 02, 2019 5:44 pm

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης k για τον οποίον υπάρχουν σταθερές C\geq 0,a>0 ώστε να ισχύει

\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R) για κάθε x \in R με \left | x-x_0 \right |<a.

Edit: Μελετήστε το πρόβλημα για οποιοδήποτε πραγματικό x_0.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Πέμ Ιαν 03, 2019 7:13 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τετ Ιαν 02, 2019 5:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης k για τον οποίον υπάρχουν σταθερές C\geq 0,a>0 ώστε να ισχύει

\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R) για κάθε x \in R με \left | x-x_0 \right |<a.

Edit: Μελετήστε το πρόβλημα για οποιοδήποτε πραγματικό x_0.
Έχουμε f(x)=0 ,x=0 και f'(x)=\frac{3\sqrt{|x|}}{2},x\neq0
\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{k|x-x_0|^{k-1}}=L (1)
\lim_{x\rightarrow x_0-}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x_0-x)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{-k|x-x_0|^{k-1}}=-L(2)
Για x_0\neq0 :f'(x_0)>0 και \lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=f'(x_0)>0
Για k>1:L=+\infty
Άρα \forall C\geq 0\forall a>0 \exists x\in (x_0-a,x_0+a):|f(x)-f(x_0)|>C|x-x_0|^k
Για k=1:L=f'(x_0)>0 (3)
Από ε-δ ορισμό ορίου και (1),(2),(3)
\exists \epsilon >0 \exists \delta >0\forall x\in (x_0-\delta  ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta ): |\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}|<L+\epsilon
Θέτουμε a=\delta και C=L+\epsilon και ισχύει :
\forall x\in (x_0-a,x_0+a):\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k

Για x_0\neq0:L=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3\sqrt{|x|}}{2k|x|^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3}{2k|x|^{k-\frac{3}{2}}}
Για k>\frac{3}{2}:L=+\infty
k=\frac{3}{2}:L=\frac{3}{2k}>0
Από ε-δ ορισμό ορίου \exists \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in(x_0-\delta )\cup (x_0,x_0+\delta ): -L-\epsilon <L-\epsilon <\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}<L+\epsilon
ομοίως ...


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 03, 2019 7:23 pm

mikemoke έγραψε:
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:13 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τετ Ιαν 02, 2019 5:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης k για τον οποίον υπάρχουν σταθερές C\geq 0,a>0 ώστε να ισχύει

\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R) για κάθε x \in R με \left | x-x_0 \right |<a.

Edit: Μελετήστε το πρόβλημα για οποιοδήποτε πραγματικό x_0.
Έχουμε f(x)=0 ,x=0 και f'(x)=\frac{3\sqrt{|x|}}{2},x\neq0
\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{k|x-x_0|^{k-1}}=L (1)
\lim_{x\rightarrow x_0-}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x_0-x)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{-k|x-x_0|^{k-1}}=-L(2)
Για x_0\neq0 :f'(x_0)>0 και \lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=f'(x_0)>0
Για k>1:L=+\infty
Άρα \forall C\geq 0\forall a>0 \exists x\in (x_0-a,x_0+a):|f(x)-f(x_0)|>C|x-x_0|^k
Για k=1:L=f'(x_0)>0 (3)
Από ε-δ ορισμό ορίου και (1),(2),(3)
\exists \epsilon >0 \exists \delta >0\forall x\in (x_0-\delta  ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta ): |\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}|<L+\epsilon
Θέτουμε a=\delta και C=L+\epsilon και ισχύει :
\forall x\in (x_0-a,x_0+a):\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k

Για x_0\neq0:L=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3\sqrt{|x|}}{2k|x|^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3}{2k|x|^{k-\frac{3}{2}}}
Για k>\frac{3}{2}:L=+\infty
k=\frac{3}{2}:L=\frac{3}{2k}>0
Από ε-δ ορισμό ορίου \exists \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in(x_0-\delta )\cup (x_0,x_0+\delta ): -L-\epsilon <L-\epsilon <\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}<L+\epsilon
ομοίως ...


Δεν βλέπω ποιο είναι το k


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Πέμ Ιαν 03, 2019 7:35 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:23 pm
mikemoke έγραψε:
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:13 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τετ Ιαν 02, 2019 5:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης k για τον οποίον υπάρχουν σταθερές C\geq 0,a>0 ώστε να ισχύει

\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R) για κάθε x \in R με \left | x-x_0 \right |<a.

Edit: Μελετήστε το πρόβλημα για οποιοδήποτε πραγματικό x_0.
Έχουμε f(x)=0 ,x=0 και f'(x)=\frac{3\sqrt{|x|}}{2},x\neq0
\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{k|x-x_0|^{k-1}}=L (1)
\lim_{x\rightarrow x_0-}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x_0-x)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{-k|x-x_0|^{k-1}}=-L(2)
Για x_0\neq0 :f'(x_0)>0 και \lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=f'(x_0)>0
Για k>1:L=+\infty
Άρα \forall C\geq 0\forall a>0 \exists x\in (x_0-a,x_0+a):|f(x)-f(x_0)|>C|x-x_0|^k
Για k=1:L=f'(x_0)>0 (3)
Από ε-δ ορισμό ορίου και (1),(2),(3)
\exists \epsilon >0 \exists \delta >0\forall x\in (x_0-\delta  ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta ): |\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}|<L+\epsilon
Θέτουμε a=\delta και C=L+\epsilon και ισχύει :
\forall x\in (x_0-a,x_0+a):\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k

Για x_0\neq0:L=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3\sqrt{|x|}}{2k|x|^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3}{2k|x|^{k-\frac{3}{2}}}
Για k>\frac{3}{2}:L=+\infty
k=\frac{3}{2}:L=\frac{3}{2k}>0
Από ε-δ ορισμό ορίου \exists \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in(x_0-\delta )\cup (x_0,x_0+\delta ): -L-\epsilon <L-\epsilon <\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}<L+\epsilon
ομοίως ...


Δεν βλέπω ποιο είναι το k
Nαι ξεχάστηκα .Για x_0=0:k=\frac{3}{2} και για x_0 \neq0:k=1.
Aυτό επειδή για x_0 \neq 0 :\forall C\geq 0\forall a>0 \exists x\in (x_0-a,x_0+a):|f(x)-f(x_0)|>C|x-x_0|^k αν k>1
και για k=1 : \forall x\in (x_0-a,x_0+a):\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k
ομοίως για x_0=0.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 04, 2019 12:14 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τετ Ιαν 02, 2019 5:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης k για τον οποίον υπάρχουν σταθερές C\geq 0,a>0 ώστε να ισχύει

\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R) για κάθε x \in R με \left | x-x_0 \right |<a.

Edit: Μελετήστε το πρόβλημα για οποιοδήποτε πραγματικό x_0.
Ας δούμε μια λύση χωρίς παραγώγους και όρια.

Αν  x_0=0

Είναι |f(x)-f(0)|=|x|^{\frac{3}{2}}

Για C=1,a>0 εχουμε ότι το k=\frac{3}{2} κάνει την δουλειά.

Αν ίσχυε |f(x)|\leq C|x|^{\frac{3}{2}+\epsilon },\epsilon > 0

για |x|< a,a> 0

τότε παίρνοντας |x|< min(a,(\frac{1}{C})^{\frac{1}{\epsilon }})

θα είχαμε ΑΤΟΠΟ.

Αρα k=\frac{3}{2}.


Εστω  x_0>0.

Για a=x_{0}

είναι

|f(x)-f(x_{0})|=|x\sqrt{x}-x_{0}\sqrt{x_{0}}|=|x-x_{0}|\dfrac{x^{2}+xx_{0}+x_{0}^{2}}{x\sqrt{x}+x_{0}\sqrt{x_{0}}}(1)

Αφου |x-x_{0}|<x_{0}

προκύπτει ότι 0< x< 2x_{0}

Η (1) δίνει |f(x)-f(x_{0})|\leq 7\sqrt{x_{0}}|x-x_{0}|

Το k=1 κάνει την δουλειά για a=x_{0},C=7\sqrt{x_{0}}

Γράφοντας x^{2}+xx_{0}+x_{0}^{2}=(x+\frac{x_{0}}{2})^{2}+\frac{3}{4}x_{0}^{2}

και λόγω της 0< x< 2x_{0} η (1) δίνει

|f(x)-f(x_{0})|\geq |x-x_{0}|\dfrac{\frac{3}{4}x_{0}^{2}}{5x_{0}\sqrt{x_{0}}}=|x-x_{0}|\frac{3}{20}\sqrt{x_{0}}(2)

Αν λοιπόν |f(x)-f(x_{0})|\leq C|x-x_{0}|^{1+\epsilon }

για |x-x_{0}|< a

παίρνοντας |x-x_{0}|< min(a,(\frac{3\sqrt{x_{0}}}{20C})^{\frac{1}{\epsilon }})

θα έχουμε ΑΤΟΠΟ από την (2).

Αρα k=1

Επειδή η συνάρτηση είναι περιττή τα ίδια δουλεύουν για  x_0<0.

Δηλαδή k=1 και

a=-x_{0},C=7\sqrt{-x_{0}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης