Ας μηδενιστούμε

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4324
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ας μηδενιστούμε

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 27, 2019 9:34 am

Δίδεται η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει:

\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t  \right | \quad \quad \text{\gr για κάθε} \;\;\; x\in \mathbb{R} \qquad \qquad (1)}
Να δειχθεί ότι f(x)=0 \;, \; x \in \mathbb{R}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12248
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ας μηδενιστούμε

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 27, 2019 11:28 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιαν 27, 2019 9:34 am
Δίδεται η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει:

\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t  \right | \quad \quad \text{\gr για κάθε} \;\;\; x\in \mathbb{R} \qquad \qquad (1)}
Να δειχθεί ότι f(x)=0 \;, \; x \in \mathbb{R}.
Μάλλον την έχουμε ξαναδεί, την ίδια ή παρόμοια.

Για σταθερό x>0, έστω M άνω φράγμα της |f| στο [0,\, x]. Έχουμε

\displaystyle{\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t  \right |  \leq \int_{0}^{x} \left |  f(t)  \right |\, \mathrm{d}t \leq \int_{0}^{x} M\, \mathrm{d}t = Mx}

Με χρήση αυτού στην θέση του M έχουμε επαγωγικά \displaystyle{\displaystyle{0\leq\left | f(x) \right | \leq M \frac {x^n}{n!} \to 0} . Άρα f(x)=0. Όμοια για x<0 και προφανές από την αρχική για x=0 (άλλωστε βγαίνει από από συνέχεια από τα προηγούμενα).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ας μηδενιστούμε

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 27, 2019 11:56 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:28 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιαν 27, 2019 9:34 am
Δίδεται η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει:

\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t  \right | \quad \quad \text{\gr για κάθε} \;\;\; x\in \mathbb{R} \qquad \qquad (1)}
Να δειχθεί ότι f(x)=0 \;, \; x \in \mathbb{R}.
Μάλλον την έχουμε ξαναδεί, την ίδια ή παρόμοια.

Για σταθερό x>0, έστω M άνω φράγμα της |f| στο [0,\, x]. Έχουμε

\displaystyle{\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t  \right |  \leq \int_{0}^{x} \left |  f(t)  \right |\, \mathrm{d}t \leq \int_{0}^{x} M\, \mathrm{d}t = Mx}

Με χρήση αυτού στην θέση του M έχουμε επαγωγικά \displaystyle{\displaystyle{0\leq\left | f(x) \right | \leq M \frac {x^n}{n!} \to 0} . Άρα f(x)=0. Όμοια για x<0 και προφανές από την αρχική για x=0 (άλλωστε βγαίνει από από συνέχεια από τα προηγούμενα).
Να σημειώσω ότι δεν χρειάζεται η συνέχεια της συνάρτησης.
Η συνάρτηση απλά πρέπει να είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα της μορφής
[0,x] η [x,0].


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12248
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ας μηδενιστούμε

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 27, 2019 1:36 pm

Τέσσερις τρόποι ουσιαστικά ισοδύναμης άσκησης εκεί. Ο ένας τρόπος είναι ο παραπάνω, αλλά υπάρχουν άλλοι τρεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης