Ας το δούμε και γεωμετρικά:
Προφανώς η παραλληλία των εφαπτομένων έπεται άμεσα από την καθετότητα προς αυτές του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν τα δύο σημεία που αντιστοιχούν στην ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στις δύο καμπύλες. Αρκεί επομένως να δείξουμε, περνώντας από τις δύο καμπύλες ατην μία, ότι η ελάχιστη απόσταση σημείου
από δοθείσα καμπύλη ισούται προς
, όπου
σημείο επί της καμπύλης όπου η εφαπτομένη της είναι κάθετη προς την
.
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η ελάχιστη απόσταση του
από την καμπύλη ισούται προς
, όπου
σημείο επί της καμπύλης τέτοιο ώστε η εφαπτομένη εκεί να μην είναι κάθετη προς την
. Υπάρχει τότε σημείο
επί της καμπύλης (και προς την 'καλή' πλευρά της εφαπτομένης) τέτοιο ώστε
... οπότε
, άτοπο. (Αν υπάρχει σημείο
επί της καμπύλης προς την 'άλλη' πλευρά της εφαπτομένης και εντός του τριγώνου
, όπου
η προβολή του
επί της εφαπτομένης (βλέπε συνημμένο) τότε η
είναι άμεση.)
Για την ύπαρξη σημείου
με την παραπάνω ιδιότητα (
) αρκεί να παρατηρήσουμε ότι καθώς το σημείο
πλησιάζει 'αρκετά' προς το
(έτσι ώστε να ισχύει η
, όπου
η οξεία γωνία ανάμεσα στην εφαπτομένη και την
) και η
πλησιάζει προς το μηδέν (έτσι ώστε
) ... ισχύει η
, άρα και η
.
[Το ότι υπάρχει
επί της καμπύλης ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα οι
και
μπορεί να δικαιολογηθεί περαιτέρω και ως εξής: ορίζουμε ακολουθία σημείων
επί της καμπύλης έτσι ώστε να ισχύει η
για κάθε
, οπότε ... αν δεν υπάρχει
τέτοιο ώστε να ισχύει ταυτόχρονα και η
τότε ... ισχύει η
αν και
, κάτι που αντίκειται στον ορισμό της εφαπτομένης.]
- εφαπκαθ.png (8.13 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές