ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

Συντονιστής: emouroukos

Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Κυρ Ιουν 09, 2019 11:59 am

Θεωρούμε το σύνολο  K \subseteq ( \mathbb{R}^2 , \left \| . \right \| )

K= \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+2y^2\leq 1 \right \}

Να δειξετε οτι το Κ είναι συμπαγές.


Σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω τον ορισμό της ακολουθιακής συμπάγειας που λέει:


Ένα σύνολο  K \subseteq ( \mathbb{R}^2 , \left \| . \right \| ) λέγεται συμπαγές αν για κάθε οικογένεια ανοιχτών συνόλων (U_i)_{i \in I}

με K \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i υπάρχουν πεπερασμένοι δείκτες i_1 , . . . , 1_N τέτοια ώστε K \subseteq U_{i_1}  \bigcup U_{i_2} \bigcup  . . . \bigcup U_{i_N}


Στον ορισμό αυτό δεν λέει αν αυτή η οικογένεια ανοιχτών συνόλων πρέπει να ανήκει στο Κ ή στο \mathbb{R}^2 . Ελπίζω να μην είναι απο δική μου έλλειψη.
Εγώ λοιπόν σκέφτηκα να πάρω 1 ανοιχτή μπάλα B((0,0),10)=\left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \left \|x,y  \right \| < 10 \right \} η οποία αποτελεί πεπερασμένη υποκάλυψη του Κ.
Αποδεικνύει αυτό την συμπάγεια του Κ ??



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2791
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 09, 2019 1:11 pm

Maidenas έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 11:59 am
...Σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω τον ορισμό της ακολουθιακής συμπάγειας που λέει:


Ένα σύνολο  K \subseteq ( \mathbb{R}^2 , \left \| . \right \| ) λέγεται συμπαγές αν για κάθε οικογένεια ανοιχτών συνόλων (U_i)_{i \in I}

με K \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i υπάρχουν πεπερασμένοι δείκτες i_1 , . . . , 1_N τέτοια ώστε K \subseteq U_{i_1}  \bigcup U_{i_2} \bigcup  . . . \bigcup U_{i_N}


Στον ορισμό αυτό δεν λέει αν αυτή η οικογένεια ανοιχτών συνόλων πρέπει να ανήκει στο Κ ή στο \mathbb{R}^2 . Ελπίζω να μην είναι απο δική μου έλλειψη.
Εγώ λοιπόν σκέφτηκα να πάρω 1 ανοιχτή μπάλα B((0,0),10)=\left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \left \|(x,y)  \right \| < 10 \right \} η οποία αποτελεί πεπερασμένη υποκάλυψη του Κ.
Αποδεικνύει αυτό την συμπάγεια του Κ ??
1) Με το ίδιο σκεπτικό κάθε ανοικτή μπάλα του \mathbb{R}^2 είναι συμπαγές σύνολο. Όμως δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο! Μπορείς να βρεις που "αστόχησες";

2) Η πρόταση που παραθέτεις είναι σωστά διατυπωμένη.

3) Ίσως είναι προτιμότερο* να δειχθεί η συμπάγεια με την βοήθεια της πρότασης: "Το K είναι συμπαγές, αν το K είναι κλειστό και φραγμένο.


(*) στην προκειμένη περίπτωση που το K είναι υποσύνολο του \mathbb{R}^2 .


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 09, 2019 1:28 pm

Maidenas έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 11:59 am
Σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω τον ορισμό της ακολουθιακής συμπάγειας που λέει:
O ορισμός που έγραψες δεν είναι ο ορισμός της ακολουθιακής συμπάγειας. Για το ποιος είναι ο σωστός ορισμός, ψάξε τον (αν είσαι φοιτητής) στα βιβλία που σου έδωσε δωρεάν η πολιτεία. Υπόδειξη: Σχετίζεται με την ιδιότητα Bolzano_Weierstrass.
Maidenas έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 11:59 am

K \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i (*)
...

Στον ορισμό αυτό δεν λέει αν αυτή η οικογένεια ανοιχτών συνόλων πρέπει να ανήκει στο Κ ή στο \mathbb{R}^2 .
Μάλλον δεν σκέφτηκες πριν ρωτήσεις, για δύο λόγους. Ο πρώτος είναι ότι εδώ δεν έχει νόημα το ρήμα "ανήκει". Προφανώς το μπλέκεις με το "είναι υποσύνολο του". Άλλο το ένα άλλο το άλλο. Ο δεύτερος λόγος είναι ότι η απάντηση στο ερώτημά σου υπάρχει σε αυτό που γράφεις λίγες γραμμές πιο πάνω, αυτό που σημείωσα με (*).

Κάνε άλλη μία προσπάθεια. Εδώ είμαστε να σε βοηθήσουμε, αλλά πρώτα περιμένουμε ουσιαστική προσπάθεια από εσένα.


Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Κυρ Ιουν 09, 2019 2:08 pm

Έχετε δίκιο, με συγχωρείτε, απο κεκτημένη ταχύτητα έκανα λάθος στο ρήμα "ανήκει" . Για την συμπάγεια ενός μετρικού χώρου μας δόθηκαν δύο ορισμοί:

1. Ένας μετρικός χώρος (X,d) λέγεται ακολουθιακά συμπαγής αν κάθε ακολουθία (x_n) στο X έχει υπακολουθία (x_{k_n}) που συγκλίνει σε κάποιο x \in X .
Eπιπλέον αν K υποσύνολο του (X,d) λεμε οτι το Κ είναι ακολουθιακά συμπαγές αν για κάθε (x_n) στο K υπάρχει x_{k_n}\rightarrow  x \in K

2. Ένας μετρικός χώρος (X,d) λέγεται συμπαγής αν: Για κάθε ανοιχτή κάλυψη (U_i)_{i \in I} του X μπορούμε να βρούμε πεπερασμένη υποκάλυψη
(δηλαδή υπάρχουν i_1, ... , i_N τέτοια ώστε X= U_{i_1}  \bigcup U_{i_2} \bigcup  . . . \bigcup U_{i_N})

Ομοίως το K υποσύνολο του (X,d) λέγεται συμπαγές αν για κάθε οικογένεια (U_i)_{i \in I} ανοιχτων συνόλων με K \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i υπάρχουν πεπερασμένοι δείκτες i_1 , . . . , 1_N τέτοια ώστε K \subseteq U_{i_1}  \bigcup U_{i_2} \bigcup  . . . \bigcup U_{i_N}


Σκέφτηκα φυσικά και τον τρόπο να δείξω οτι ειναι κλειστό και φραγμένο. Το φραγμένο φαίνεται απο τον ορισμό του συνόλου Κ. Μένει να δείξουμε οτι ειναι και κλειστό. Για να δείξω οτι ειναι κλειστό πρέπει να δείξω οτι κάθε ακολουθία μέσα στο Κ θα συγκλίνει μέσα στο Κ. Προφανώς δεν μπορώ να τις πάρω όλες, οπότε φαντάστηκα οτι θα χρειάζεται κάποιας μορφής με άτοπο. Αλλά δεν ήξερα πως να το δημιουργήσω το άτοπο.

Ετσι λοιπόν σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω και τον 2ο ορισμό. Ο 2ος ορισμός όμως δεν μου λέει αν η οικογένεια ανοιχτών συνόλων (U_i)_{i \in I} είναι υποσύνολο του K ή του X

Στο ερώτημα 1) πράγματι, αφοπλίζει τελείως το επιχείρημά μου... έχω κολήσει !


Όσον αφορά τον αστερίσκο [*]
Το Κ μπορώ να το καλύψω με μία οικογένεια ανοιχτών μπαλών μέσα και έξω απο το Κ


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2791
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 09, 2019 2:25 pm

Maidenas έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 2:08 pm
1. Ένας μετρικός χώρος (X,d) λέγεται ακολουθιακά συμπαγής αν κάθε ακολουθία (x_n) στο X έχει υπακολουθία (x_{k_n}) που συγκλίνει σε κάποιο x \in X .
Eπιπλέον αν K υποσύνολο του (X,d) λεμε οτι το Κ είναι ακολουθιακά συμπαγές αν για κάθε (x_n) στο K υπάρχει x_{k_n}\rightarrow  x \in K

2. Ένας μετρικός χώρος (X,d) λέγεται συμπαγής αν: Για κάθε ανοιχτή κάλυψη (U_i)_{i \in I} του X μπορούμε να βρούμε πεπερασμένη υποκάλυψη
(δηλαδή υπάρχουν i_1, ... , i_N τέτοια ώστε X= U_{i_1}  \bigcup U_{i_2} \bigcup  . . . \bigcup U_{i_N})

Ομοίως το K υποσύνολο του (X,d) λέγεται συμπαγές αν για κάθε οικογένεια (U_i)_{i \in I} ανοιχτων συνόλων με K \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i υπάρχουν πεπερασμένοι δείκτες i_1 , . . . , 1_N τέτοια ώστε K \subseteq U_{i_1}  \bigcup U_{i_2} \bigcup  . . . \bigcup U_{i_N}


Σκέφτηκα φυσικά και τον τρόπο να δείξω οτι ειναι κλειστό και φραγμένο. Το φραγμένο φαίνεται απο τον ορισμό του συνόλου Κ. Μένει να δείξουμε οτι ειναι και κλειστό. Για να δείξω οτι ειναι κλειστό πρέπει να δείξω οτι κάθε ακολουθία μέσα στο Κ θα συγκλίνει μέσα στο Κ. Προφανώς δεν μπορώ να τις πάρω όλες, οπότε φαντάστηκα οτι θα χρειάζεται κάποιας μορφής με άτοπο. Αλλά δεν ήξερα πως να το δημιουργήσω το άτοπο.
1) Αυτό που σου "διέφυγε" είναι το "για κάθε ανοικτή..."
2) Η χρήση της "εις άτοπον απαγωγής" είναι σωστή σκέψη. Έστω ότι υπάρχει συγκλίνουσα ακολουθία \{\overline{a}_n\} στο K, τέτοια ώστε \lim\overline{a}_n=\overline{a}\notin K...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Κυρ Ιουν 09, 2019 2:40 pm

Τώρα μου ήρθε η ιδέα πως βγαίνει νομίζω με άτοπο...

Δηλαδή να δείξω οτι υπάρχει μια "κακή" ακολουθία (x_n) μέσα στο Κ που συγκλίνει σε ένα όριο a έξω απο το Κ.
Που σημαίνει οτι υπάρχει μια ακτίνα για μια μπάλα με κέντρο το a που έχει θετική απόσταση απο την έλλειψη. Και μέσα σε αυτήν την μπάλα υπάρχουν άπειροι όροι της x_n που ανήκουν στο Κ αλλά και παράλληλα στην μπάλα που είναι έξω απο το Κ και έτσι παίρνουμε το άτοπο ??


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 09, 2019 2:42 pm

Maidenas έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 2:08 pm
πρέπει να δείξω οτι κάθε ακολουθία μέσα στο Κ θα συγκλίνει μέσα στο Κ
Όχι ακριβώς.

Πρέπει να αποδείξεις ότι αν μία ακολουθία στοιχείων του K συγκλίνει, τότε και το όριο είναι στοιχείο του K. Αυτό που γράφεις μοιάζει να είναι το ίδιο, αλλά έχει τεράστια διαφορά. Το θέμα είναι αρκετά λεπτό, και ελπίζω να βλέπεις σε τι διαφέρουν.

Θα χαρούμε να το καταγράψεις εδώ, για να πεισθούμε ότι αντιλαμβάνεσαι την διαφορά.

Άλλος τρόπος να λύσεις την άσκηση είναι να δείξεις ότι κάθε ακολουθία στοιχείων του K (είτε συγκλίνει είτε όχι) έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του K.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 09, 2019 2:44 pm

Maidenas έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 2:40 pm
Δηλαδή να δείξω οτι υπάρχει μια "κακή" ακολουθία (x_n) μέσα στο Κ που συγκλίνει σε ένα όριο a έξω απο το Κ.
Όχι! Το αντίθετο. Δεν υπάρχει τέτοια ακολουθία.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2791
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 09, 2019 2:59 pm

Μια μικρή βοήθεια ακόμα:

Έστω ότι υπάρχει συγκλίνουσα ακολουθία \{\overline{a}_n\} στο K, τέτοια ώστε \lim\overline{a}_n=\overline{a}\notin K...
comp_elli.png
comp_elli.png (9.08 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Κυρ Ιουν 09, 2019 3:41 pm

Νομίζω το βρήκα αυτή τη φορά, χωρίς λάθη βιαστικά! Λοιπόν!!

Το σύνολο K= \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+2y^2\leq 1 \right \}
  • ειναι εξορισμού φραγμένο
  • Θα δείξουμε οτι ειναι και κλειστό
Δηλαδή θα δείξω οτι για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία (x_n,y_n) στοιχείων του K, θα ισχύει (x_n,y_n) \rightarrow (x_0 , y_0) \in K

Εις άτοπον απαγωγή

Έστω οτι υπάρχει συγκλίνουσα ακολουθία (x_n,y_n) όπου (x_n,y_n) \rightarrow (x_0 , y_0) \notin K.

Αυτό σημαίνει οτι (x_0 , y_0) \in \left \{ (x,y): x^2+2y^2>1 \right \}

Άρα υπάρχει \epsilon > 0 τέτοιο ώστε x_0^2+2y_0^2 - \epsilon = 1
Ορίζουμε έναν ακόμα μικρότερο αριθμο απο το ε να είμαστε σίγουροι... να μην μας τρομάζει το σύνορο του Κ! Έστω \delta = \frac{ \epsilon}{2}

Στην συνέχεια ορίζω την ανοιχτή μπάλα B((x_0,y_0), \delta) για την οποία ισχύει οτι B((x_0,y_0), \delta) \bigcap K = \varnothing

Απο την άλλη αφού (x_n,y_n) \rightarrow (x_0 , y_0) θα υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας (x_n,y_n) του K μέσα στην μπάλα B((x_0,y_0), \delta)

Δηλαδή υπάρχει τελικό τμήμα της ακολουθίας στοιχείων του K όπου x_m^2+2y_m^2 \leq 1 μέσα στην μπάλα.
Δηλαδή B((x_0,y_0), \delta) \bigcap K \neq \varnothing

Άρα έχουμε άτοπο. Άρα η αρχική μου υπόθεση είναι λάθος. Συνεπώς κάθε συγκλινουσα ακολουθία στο Κ συγκλίνει σε στοιχείο του Κ.

Σωστό????


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2791
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 09, 2019 5:08 pm

Maidenas έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 3:41 pm
...Άρα έχουμε άτοπο. Άρα η αρχική μου υπόθεση είναι λάθος. Συνεπώς κάθε συγκλινουσα ακολουθία στο Κ συγκλίνει σε στοιχείο του Κ.
Σωστό????
Σωστό.

Υ.Γ. Εκτός από το σύμβολο του (ελληνικού) ερωτηματικού.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 09, 2019 5:23 pm

Maidenas έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 3:41 pm
Σωστό????
Σωστό αλλά και πολλά περιττά, ιδίως για το απλούστατο της άσκησης: Υποθέτω ότι ξέρεις πως αν z_n ακολουθία πραγματικών με z_n \to z και  z_n\le a για κάθε n, τότε και  z \le a. Σίγουρα το έχεις μάθει πολύ πριν κάνεις Μετρικούς Χώρους. Έχουμε λοιπόν

Έστω (x_n,y_n) \rightarrow (x_0 , y_0) με \displaystyle{x_n^2+2y_n^2\le 1\, (*)} . Είναι τότε x_n\to x_0 και y_n\to y_0, οπότε \displaystyle{x_n^2+2y_n^2\to x_0^2+2y_0^2}. Από (*) είναι \displaystyle{ x_0^2+2y_0^2\le 1}. Τελειώσαμε.

Στα Μαθηματικά πρέπει να έχουμε λιτότητα των συλλογισμών.


Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Κυρ Ιουν 09, 2019 6:12 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 5:23 pm
Maidenas έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 3:41 pm
Σωστό????
Σωστό αλλά και πολλά περιττά, ιδίως για το απλούστατο της άσκησης: Υποθέτω ότι ξέρεις πως αν z_n ακολουθία πραγματικών με z_n \to z και  z_n\le a για κάθε n, τότε και  z \le a. Σίγουρα το έχεις μάθει πολύ πριν κάνεις Μετρικούς Χώρους. Έχουμε λοιπόν

Έστω (x_n,y_n) \rightarrow (x_0 , y_0) με \displaystyle{x_n^2+2y_n^2\le 1\, (*)} . Είναι τότε x_n\to x_0 και y_n\to y_0, οπότε \displaystyle{x_n^2+2y_n^2\to x_0^2+2y_0^2}. Από (*) είναι \displaystyle{ x_0^2+2y_0^2\le 1}. Τελειώσαμε.

Στα Μαθηματικά πρέπει να έχουμε λιτότητα των συλλογισμών.
Πω, δεν το σκέφτηκα έτσι! Δηλαδή για μια τυχούσα συγκλίνουσα ακολουθία που συγκλίνει κάπου, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ορίων δείχνεται άμεσα οτι το όριο βρίσκεται στο σύνολο Κ !

Τρομάζω με τις φράσεις "για κάθε" και δεν το σκέφτηκα έτσι !!

Ευχαριστώ πολύ για αλλη μια φορά!!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 09, 2019 7:10 pm

Δεν υπάρχει μεγαλύτερη χαρά για εμάς αν αποκομίσεις κάτι καλό από το φόρουμ: Πρώτα απ' όλα την ομορφιά των Μαθηματικών.

Καλό διάβασμα και καλή επιτυχία με την εξεταστική σου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης