Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Συντονιστής: emouroukos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2688
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 13, 2019 7:41 pm

Για x>0 θέτουμε \ln ^{+}x=max(0,\ln x)

1) Να δειχθεί ότι για x> 0,y\geq 0
είναι

xy\leq x\ln ^{+}x+e^{y}-1

2)Αν f:(0,1]\rightarrow (0,\infty )

είναι συνεχής συνάρτηση να δειχθεί ότι για κάθε 0<a<1
ισχύει

 \displaystyle  \int_{a}^{1}f(x)\ln \frac{1}{x}dx\leq 2\int_{a}^{1}f(x)\ln^{+} f(x)dx+2



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2179
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Οκτ 15, 2019 5:46 pm

προσθετουμε Αν \displaystyle{x\le 1} τότε \displaystyle{xln^+χ=0}αρκεί \displaystyle{xy\le e^y-1}που ισχύει αφού \displaystyle{xy\le y\le e^y-1}
αν \displaystyle{x>1}θετω \displaystyle{g(y)=e^y-1+xlnx-xy} και εύκολα δείχνουμε ότι η \displaystyle{g}εχει ελάχιστο στο \displaystyle{lnx} θετικό που αποδεικνύει το ζητούμενο. Τελικα \displaystyle{xy 
\le xln^+x+e^y-1} σε κάθε περίπτωση
Λόγω λαθους αποσύρω την λυση μου
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Παρ Οκτ 18, 2019 12:34 am, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


kfd
Δημοσιεύσεις: 98
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Τρί Οκτ 15, 2019 7:04 pm

Το ελάχιστο στο α΄ερώτημα δεν είναι το x-1>0;


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2179
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Οκτ 16, 2019 8:27 am

Ναι το διορθωσα Απροσεξία ευτυχώς δεν αλλάζει τίποτα


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2179
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Οκτ 17, 2019 5:58 pm

για το 2
2η προσπάθεια
απο την προηγούμενη \displaystyle{f(x)ln^+f(x)\ge xf(x)+1-e^x ,f(x)ln^+f(x)-f(x)lnx\ge 1-x} αρα\displaystyle{2+2f(x)ln^+f(x)-f(x)lnx\ge 4-x-e^x+xf(x)\ge 4-1-e+0>0} διοτι \displaystyle{x\le  1,x>0,f(x)>0}
ολοκληρώνοντας και μεταφέροντας ένα 2α στο 2ο μέλος εχουμε το ζητούμενο

μάλλον λαθος πάλι 0<y=lnx<0 ισως να λύνεται αν θέσουμε y=ln(1/x)? OYΦ με καύρασε ας το δεί κάποιος άλλος ευχαριστώ τον Σταυρο για την παρεμβαση του σε ΠΜ και για την ωραία άσκηση


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2688
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 22, 2019 12:44 pm

Τελευταία επαναφορά για το 2) πριν γράψω λύση.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 23, 2019 10:41 am

Από το (1) έχουμε

\displaystyle  f(x)\ln(\tfrac{1}{x}) = 2f(x)\ln(\tfrac{1}{\sqrt{x}}) \leqslant 2\[ f(x) \ln^+(f(x)) + \frac{1}{\sqrt{x}} - 1

Άρα

\displaystyle \begin{aligned}\int_{a}^{1} f(x)\ln(\tfrac{1}{x})  \,\mathrm{d}x &\leqslant 2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x + 2\int_a^1\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)\mathrm{d}x \\ 
&\leqslant  2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x + 2\int_a^1\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)\mathrm{d}x \\ 
&\leqslant  2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x + 2\int_0^1\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)\mathrm{d}x \\ 
&= 2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x+2  
 
\end{aligned}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης