Με σφάλμα τάξης 10^-4!

Συντονιστής: emouroukos

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 521
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Με σφάλμα τάξης 10^-4!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Οκτ 20, 2019 1:50 pm

Να δείξετε ότι \displaystyle \int_{-\frac{\pi }{8}}^{\frac{\pi}{8} }\frac{\sqrt{\cos 2x}}{2019^{\sin x}+1}dx<\sqrt{\frac{\pi \sqrt{2}}{32}}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 234
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Με σφάλμα τάξης 10^-4!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Οκτ 21, 2019 9:22 am

Μία γεωμετρική προσέγγιση
Εφόσον \frac{-\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=0 θέτουμε x=-u, οπότε

f(-x)=\frac{\sqrt{cos(-2x)}}{2019^{sin(-x)}+1}=\frac{\sqrt{cos(-2x)}}{2019^{-sin(x)}+1}=\frac{\sqrt{cos(-2x)}}{\frac{1}{2019^{sinx}}+1}=
\frac{2019^{sinx}\sqrt{cos(-2x)}}{2019^{sin(x)}+1}

\int_{-\pi/8}^{\pi/8}f(x)dx=\tex{I}\\
 \int_{\pi/8}^{-pi/8}f(-u)(-du)=\int_{-\pi/8}^{\pi/8}f(-u)du=\tex{J}


\tex{I}+\tex{J}=\int_{-\pi/8}^{\pi/8}\frac{\sqrt{cos2x}}{2019^{sinx}+1}dx+\int_{-\pi/8}^{\pi/8}\frac{2019^{sinx}\sqrt{cos2x}}{2019^{sinx}+1}dx=\int_{-\pi/8}^{\pi/8}\frac{(2019^{sinx}+1)\sqrt{cos2x}}{2019^{sinx}+1}=2\int_{0}^{\pi/8}\sqrt{cos2x}dx

Αποδεικνύεται ότι η g(x)=\sqrt{cos2x} είναι κοίλη , συνεπώς g(x)\leq \epsilon_{y} όπου \epsilon_{y} η εφαπτομένη της στο σημείο C(\frac{\pi}{8},0) , επομένως το εμβαδόν που σχηματίζει το χωρίο της g(x) είναι μικρότερο από το εμβαδό του τραπεζίου \tex{E}_{(OBCD)}
Δεν έχω δυστυχώς χρόνο να κάνω τους υπολογισμούς απλά παραθέτω το σχήμα
2019-10-21.png
2019-10-21.png (23.3 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 521
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με σφάλμα τάξης 10^-4!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Οκτ 21, 2019 10:14 am

Ratio έγραψε:
Δευ Οκτ 21, 2019 9:22 am

Αποδεικνύεται ότι η g(x)=\sqrt{cos2x} είναι κοίλη , συνεπώς g(x)\leq \epsilon_{y} όπου \epsilon_{y} η εφαπτομένη της στο σημείο C(\frac{\pi}{8},0) , επομένως το εμβαδόν που σχηματίζει το χωρίο της g(x) είναι μικρότερο από το εμβαδό του τραπεζίου \tex{E}_{(OBCD)}
Δεν έχω δυστυχώς χρόνο να κάνω τους υπολογισμούς απλά παραθέτω το σχήμα
2019-10-21.png
Καλημέρα. Μπορούμε να αποφύγουμε τη μελέτη της \sqrt{\cos 2x} και να φράξουμε από τα πάνω

το \displaystyle \int_{0}^{\pi/8}\sqrt{\cos 2x}dx χρησιμοποιώντας μια κλασική ανισότητα.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 234
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Με σφάλμα τάξης 10^-4!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τρί Οκτ 22, 2019 7:10 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Οκτ 21, 2019 10:14 am


Καλημέρα. Μπορούμε να αποφύγουμε τη μελέτη της \sqrt{\cos 2x} και να φράξουμε από τα πάνω

το \displaystyle \int_{0}^{\pi/8}\sqrt{\cos 2x}dx χρησιμοποιώντας μια κλασική ανισότητα.
Συμφωνώ απόλυτα αλλά τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα υπολογισμού προσφέρονται για γεωμετρική προσέγγιση με μελέτη συνάρτησης κλπ. Αναμφισβήτητα είναι πιο χρονοβόρα λύση


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες