Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Συντονιστής: emouroukos
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Είναι επαναφορά από το
viewtopic.php?f=56&t=3390
του Peter
Αλλαξα φάκελο γιατί η λύση που έχω είναι σε αυτόν
Άσκηση 1. Εξετάστε αν υπάρχει με την ιδιότητα: για κάθε .
viewtopic.php?f=56&t=3390
του Peter
Αλλαξα φάκελο γιατί η λύση που έχω είναι σε αυτόν
Άσκηση 1. Εξετάστε αν υπάρχει με την ιδιότητα: για κάθε .
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Βάζω μια λύση χωρίς ανάλυση.
Παρατηρούμε αρχικά ότι η είναι γνησίως αύξουσα αφού αν τότε (με ) έχουμε
Ισχυρίζομαι επίσης ότι για κάθε . Σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει και ώστε . Τότε όμως είναι:
άτοπο.
Ισχυρίζομαι τώρα ότι . Αυτό αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά αφού είναι αληθές για και στο επαγωγικό βήμα παίρνουμε:
Τότε όμως για αρκετά μεγάλο θα έχουμε
το οποίο είναι άτοπο. (Δευτεροβάθμια στο με θετικό συντελεστή του .)
Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση
Παρατηρούμε αρχικά ότι η είναι γνησίως αύξουσα αφού αν τότε (με ) έχουμε
Ισχυρίζομαι επίσης ότι για κάθε . Σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει και ώστε . Τότε όμως είναι:
άτοπο.
Ισχυρίζομαι τώρα ότι . Αυτό αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά αφού είναι αληθές για και στο επαγωγικό βήμα παίρνουμε:
Τότε όμως για αρκετά μεγάλο θα έχουμε
το οποίο είναι άτοπο. (Δευτεροβάθμια στο με θετικό συντελεστή του .)
Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Για να την δούμε με Ανάλυση.
Εύκολα βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα.
Από την
για
παίρνουμε
Για παίρνουμε
Αρα
Υπάρχει ωστε
η
οπότε
Η αρχική για και δίνει
ΑΤΟΠΟ.
Εύκολα βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα.
Από την
για
παίρνουμε
Για παίρνουμε
Αρα
Υπάρχει ωστε
η
οπότε
Η αρχική για και δίνει
ΑΤΟΠΟ.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Την είχα κάνει από προχτές αλλά απέφυγα να γράψω τη λύση λόγω όγκου.
Αυτό γιατί αν υποθέσουμε ότι θα είναι ( σταθερό)
(άτοπο).
Άμεσα λοιπόν έχουμε Για τυχόν θα υπάρχει
ώστε .
Οι και είναι ολοκληρώσιμες ως μονότονες οπότε για έχουμε
το οποίο αντιφάσκει με την για κάθε αν πάρουμε και αρκετά μεγάλο.
Τελικά δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Μέχρι εδώ τα ίδια. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι (το όριο υπάρχει από μονοτονία).
Αυτό γιατί αν υποθέσουμε ότι θα είναι ( σταθερό)
(άτοπο).
Άμεσα λοιπόν έχουμε Για τυχόν θα υπάρχει
ώστε .
Οι και είναι ολοκληρώσιμες ως μονότονες οπότε για έχουμε
το οποίο αντιφάσκει με την για κάθε αν πάρουμε και αρκετά μεγάλο.
Τελικά δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες