Απίθανη περίπτωση

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απίθανη περίπτωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 23, 2019 12:43 pm

Υπάρχει περίπτωση να αποδείξουμε ότι : \displaystyle\int_{1}^{e}\frac{dx}{ln(x+1)}< e-1 :?:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Απίθανη περίπτωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Δεκ 23, 2019 2:51 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 23, 2019 12:43 pm
Υπάρχει περίπτωση να αποδείξουμε ότι : \displaystyle\int_{1}^{e}\frac{dx}{ln(x+1)}< e-1 :?:

Μπορώ να αποδείξω την πιο χαλαρή...

\displaystyle{\begin{aligned} 
\ln x \leq x-1 &\Rightarrow \ln \frac{1}{x} \leq \frac{1}{x}-1 \\  
 &\Rightarrow -\ln x \leq \frac{1}{x}-1 \\  
 &\Rightarrow \ln x \geq 1-\frac{1}{x} \\  
 &\Rightarrow \frac{1}{\ln x} \leq \frac{1}{1-\frac{1}{x}} \\  
 &\Rightarrow \int_{2}^{e+1} \frac{\mathrm{d}t}{\ln t} < \int_2^{e+1} \frac{\mathrm{d}t}{1-\frac{1}{t}} \\  
 &\Rightarrow \int_{2}^{e+1} \frac{\mathrm{d}t}{\ln t} < e  
\end{aligned}}
Πάντως η ανισότητα είναι πολύ σφιχτή με την έννοια ότι \displaystyle{\int_{2}^{e+1} \frac{\mathrm{d}t}{\ln t} \approx 1.71372} και \displaystyle{e-1 \approx 1.71828}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 634
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Απίθανη περίπτωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Δεκ 23, 2019 10:48 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Δεκ 23, 2019 2:51 pm

Μπορώ να αποδείξω την πιο χαλαρή...
 \ln x \geq 1-\frac{1}{x}
Tόλη ολοκλήρωσέ την. Θα πάρεις καλύτερη εκτίμηση.

\displaystyle \ln x \geq 1-\frac{1}{x}\Rightarrow \int_{1}^{x}\ln tdt\geq\int_{1}^{x}1-\frac{1}{t}dt\Rightarrow ...

\displaystyle \Rightarrow \ln x\geq 2\dfrac{x-1}{x+1}\Rightarrow \dfrac{1}{\ln x}\leq \dfrac{x+1}{2(x-1)}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απίθανη περίπτωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 23, 2019 11:35 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 23, 2019 12:43 pm
Υπάρχει περίπτωση να αποδείξουμε ότι : \displaystyle\int_{1}^{e}\frac{dx}{ln(x+1)}< e-1 :?:
Και φυσικά μπορούμε να την αποδείξουμε.
Δεν έχει όμως κανένα νόημα η απόδειξη.
Τι νόημα έχει να προσπαθείς να προσεγγίσεις ένα ολοκλήρωμα;
Οι μέθοδοι της Αριθμητικής Ανάλυσης το προσεγγίζουν όσο καλά θέλουμε.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Απίθανη περίπτωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 24, 2019 9:04 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Δεκ 23, 2019 10:48 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Δεκ 23, 2019 2:51 pm

Μπορώ να αποδείξω την πιο χαλαρή...
 \ln x \geq 1-\frac{1}{x}
Tόλη ολοκλήρωσέ την. Θα πάρεις καλύτερη εκτίμηση.

\displaystyle \ln x \geq 1-\frac{1}{x}\Rightarrow \int_{1}^{x}\ln tdt\geq\int_{1}^{x}1-\frac{1}{t}dt\Rightarrow ...

\displaystyle \Rightarrow \ln x\geq 2\dfrac{x-1}{x+1}\Rightarrow \dfrac{1}{\ln x}\leq \dfrac{x+1}{2(x-1)}

Χμμ... εδώ Λάμπρο βγάζουμε:

\displaystyle{\int_2^{e+1} \frac{\mathrm{d}t}{\ln t} < \frac{1+e}{2}\approx 1.8591}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης