Άθροισμα ακροτάτων

KARKAR · #1

: άθροισμα ακροτάτων.png (5.63 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές

Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4+4x^3+8x^2-4x-1}{4x^2} , x<0$ ,

παρουσιάζει ένα τοπικό ελάχιστο $f_{min}$ και ένα τοπικό μέγιστο $f_{max}$ .

Μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε το άθροισμα : $f_{min}+f_{max}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 23, 2020 2:31 pm
άθροισμα ακροτάτων.pngΔείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4+4x^3+8x^2-4x-1}{4x^2} , x<0$ ,

παρουσιάζει ένα τοπικό ελάχιστο $f_{min}$ και ένα τοπικό μέγιστο $f_{max}$ .

Μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε το άθροισμα : $f_{min}+f_{max}$ ;

$\displaystyle f(x) = \frac{{{x^2}}}{4} + x + 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{{{4x^2}}}$ και $\displaystyle f'(x) = 0 \Rightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2x + 1 = 0$ (*) με πραγματικές ρίζες

$\displaystyle {x_1} = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 + \sqrt[4]{{12}}} \right),{x_2} = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 - \sqrt[4]{{12}}} \right)$ και $\boxed{{x_1}{x_2} = 1}$ (1)

$\displaystyle {f_{\min }} + {f_{\max }} = f({x_1}) + f({x_2}) = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{4} + {x_1} + {x_2} + 4 - \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} - \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{4{{({x_1}{x_2})}^2}}}$

και από την (1),

$\boxed{{f_{\min }} + {f_{\max }} = 4}$

(*) (Χωρίς να βρεθούν οι ρίζες): $\displaystyle {x^4} + 2{x^3} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {({x^2} + x + 1)^2} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left( {{x^2} + (1 - \sqrt 3 )x + 1} \right)\left( {{x^2} + (1 + \sqrt 3 )x + 1} \right) = 0.$ Η πρώτη παρένθεση δεν έχει πραγματικές ρίζες,

ενώ για τη δεύτερη είναι ${x_1}{x_2} = 1$

Άθροισμα ακροτάτων

Άθροισμα ακροτάτων

Re: Άθροισμα ακροτάτων

Μέλη σε σύνδεση