Αριθμητική πρόοδος

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Αριθμητική πρόοδος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 15, 2020 8:10 pm

Η ακολουθία \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} ορίζεται ως:

\displaystyle{\left | a_m + a_n - a_{m+n} \right | \leq \frac{1}{m+n} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; m, n \geq 1}
Να δειχθεί ότι η \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} είναι αριθμητική πρόοδος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αριθμητική πρόοδος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 16, 2020 1:05 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 15, 2020 8:10 pm
Η ακολουθία \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} ορίζεται ως:

\displaystyle{\left | a_m + a_n - a_{m+n} \right | \leq \frac{1}{m+n} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; m, n \geq 1}
Να δειχθεί ότι η \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} είναι αριθμητική πρόοδος.
Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι είναι η a_n=nc, για κάποια σταθερά c.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Αριθμητική πρόοδος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 17, 2020 5:45 pm

Για κάθε δύο φυσικούς n,N ισχύουν τα

\displaystyle  |a_{N+1} - a_N - a_1| \leqslant \frac{1}{N+1} < \frac{1}{N}

\displaystyle  |a_{N+2} - a_{N+1} - a_1| \leqslant \frac{1}{N+2} < \frac{1}{N}
...
\displaystyle  |a_{N+n} - a_{N+n-1} - a_1| \leqslant \frac{1}{N+n-1} < \frac{1}{N}

Προσθέτοντας και χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα έχουμε

\displaystyle  |a_{N+n}-a_N - na_1| < \frac{n}{N}

Ισχύει όμως επίσης ότι \displaystyle  |a_n + a_N - a_{N+n}| \leqslant \frac{1}{N+n} < \frac{1}{N}

Από τις τελευταίες δύο και την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε

\displaystyle  |a_n-na_1| < \frac{n+1}{N}

Η τελευταία ισχύει για κάθε φυσικό N άρα (παίρνουμε όρια όταν N \to \infty) καταλήγουμε στο a_n = na_1 που δίνει το ζητούμενο ακόμη και στην κάπως ισχυρότερη μορφή που μας έδωσε ο Μιχάλης.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αριθμητική πρόοδος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 17, 2020 8:12 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 15, 2020 8:10 pm
Η ακολουθία \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} ορίζεται ως:

\displaystyle{\left | a_m + a_n - a_{m+n} \right | \leq \frac{1}{m+n} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; m, n \geq 1}
Να δειχθεί ότι η \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} είναι αριθμητική πρόοδος.
Για να το δούμε και με τα ψέμματα.
Κρατώντας το m σταθερό και παίρνοντας n\rightarrow \infty
έχουμε
\lim_{n\rightarrow \infty }(a_{m+n}-a_{n})=a_{m}(1)
αλλά και
\lim_{n\rightarrow \infty }(a_{m+1+n}-a_{n})=a_{m+1}(2)
από (1),(2) είναι
\lim_{n\rightarrow \infty }(a_{m+1+n}-a_{n+m})=a_{m+1}-a_{m}
Επειδή
\lim_{n\rightarrow \infty }(a_{m+1+n}-a_{n+m})=\lim_{k\rightarrow \infty }(a_{k+1}-a_{k})=a_{1}
η μοναδικότητα του ορίου δίνει
a_{m+1}=a_{m}+a_{1}
που δείχνει το ζητούμενο


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης