ανισότητα

#1

$\displaystyle{a,b,c}$ θετικοί αριθμοί να δείξετε ότι $\displaystyle{a^ab^bc^c\ge (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

R BORIS έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2020 7:15 pm
$\displaystyle{a,b,c}$ θετικοί αριθμοί να δείξετε ότι $\displaystyle{a^ab^bc^c\ge (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}}$

Παίρνοντας λογαρίθμους γράφεται

$\displaystyle \sum a\ln a\geq \frac{1}{3}\sum a\sum \ln a$ (1)

επειδή τα a,b,c

εχουν την ίδια διάταξη με τα $\ln a,\ln b,\ln c$

η (1) ισχύει.
(γνωστή ανισότητα)

https://www.researchgate.net/publicatio ... etic_means

#3

ΠΟΛΥ ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΗ ΥΠΟΔΕΙΞΗ
jensen στην $\displaystyle{xlnx}$
αφού λογαριθμίσουμε ΑΜ- ΓΜ
για μια 2η λυση

Al.Koutsouridis · #4

R BORIS έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2020 7:15 pm
$\displaystyle{a,b,c}$ θετικοί αριθμοί να δείξετε ότι $\displaystyle{a^ab^bc^c\ge (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}}$

Για να μην πάει η πρόταση με τον κανόνα Ντεκάρτ για "ψεύδο-πολυώνυμα" από εδώ χαμένη, ας δούμε μια λύση για την πιο ισχυρή ανισότητα

$\displaystyle{ \left ( a^ab^bc^c \right ) ^{\frac{1}{a+b+c}}\geq \dfrac{a+b+c}{3}}$ $\quad$ $\bigstar$

Η αρχική προκύπτει από την $\bigstar$ και την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, αφού

$\left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right )^{a+b+c} \geq \left ( \left (abc \right )^{\frac{1}{3}} \right )^{a+b+c} = \left (abc \right )^{\frac{a+b+c}{3}}}$

Για την απόδειξη της $\bigstar$ θεωρούμε το ψεύδο-πολυώνυμο

$\displaystyle{ f(x) = \dfrac{a^x+b^x+c^x}{3} -\left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right)^x}$ .

Παρατηρούμε ότι έχει δυο αλλαγές προσήμου, άρα θα έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες. Εύκολα βλέπουμε ότι αυτές είναι οι x=0

και

. Άρα άλλες ρίζες δεν υπάρχουν.

Επίσης παρατηρούμε ότι παίρνοντας όριο

τείνοντος στο άπειρο, η f(x)

παίρνει θετικές τιμές. Επομένως η f(x)

είναι θετική στο διάστημα $(-\infty , 0)$ αρνητική στο (0,1)

και θετική στο $(1, +\infty)$ . Το πίνακα προσήμων μπορούμε να τον εξάγουμε και βρίσκοντας την τιμή της συνάρτησης σε ένα τρίτο σημείο, για παράδειγμα στο x=-1

.

Άρα θα έχουμε $f^{\prime}(1) \geq 0$ . Όμως

$f^{\prime}(x) = \dfrac{a^{x} \ln a +b^{x} \ln b+c^{x} \ln c}{3} - \left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right)^x \ln \left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right) \Rightarrow$

$f^{\prime}(1) = \dfrac{a \ln a +b \ln b+c \ln c}{3} - \left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right) \ln \left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right) \geq 0$

που είναι ισοδύναμη με τη $\bigstar$ .

Υγ. Την τεχνική την δανείστηκα από το άρθρο του Γκορέλοβ "Απλά προβλήματα βελτιστοποίησης, Κανόνας Ντεκάρτ", όπου χρησιμοποιείται για την απόδειξη πληθώρας ανισοτήτων.

KARKAR · #5

Ευκαιρία για μιαν απόδειξη της ανισότητας : Για του θετικούς

a,b,c

και

, με : $a\geq b\geq c$ και $x\geq y\geq z$ ,

δείξτε ότι : $ax+by+cz \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)(x+y+z)$ .

Παρακαλώ : απόδειξη , όχι παραπομπή ή αναφορά ...

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 22, 2020 8:32 pm
Ευκαιρία για μιαν απόδειξη της ανισότητας : Για του θετικούς

και , με : $a\geq b\geq c$ και $x\geq y\geq z$ ,

δείξτε ότι : $ax+by+cz \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)(x+y+z)$ .

ίσον θετικό ως άθροισμα τριών θετικών.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 22, 2020 8:32 pm
Ευκαιρία για μιαν απόδειξη της ανισότητας : Για του θετικούς

και , με : $a\geq b\geq c$ και $x\geq y\geq z$ ,

δείξτε ότι : $ax+by+cz \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)(x+y+z)$ .

Παρακαλώ : απόδειξη , όχι παραπομπή ή αναφορά ...

Απόδειξη με αναφορά, για γενική περίπτωση.
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev ... inequality

ανισότητα

ανισότητα

Re: ανισότητα

Re: ανισότητα

Re: ανισότητα

Re: ανισότητα

Re: ανισότητα

Re: ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση