D.E

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2231
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

D.E

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Φεβ 28, 2020 9:47 am

΄Εστω συνάρτηση \displaystyle{ f : f ΄΄(x)=p(x)f(x) ,  p(x)>0 }και συνεχής στο\displaystyle{ R}. Τότε αν η \displaystyle{ f} έχει δυο ρίζες \displaystyle{a ,b} δείξτε ότι \displaystyle{ f(x)=0,x\in [a,b] }
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Τρί Μαρ 10, 2020 6:40 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: D.E

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 28, 2020 5:55 pm

R BORIS έγραψε:
Παρ Φεβ 28, 2020 9:47 am
΄Εστω συνάρτηση \displaystyle{ f : f ΄΄(x)=p(x)f(x) ,  p(x)>0 }και συνεχής στο\displaystyle{ R}. Τότε αν η \displaystyle{ f} έχει δυο ρίζες \displaystyle{a ,b} δείξτε ότι \displaystyle{ f(x)=0,x\in [a,b] }
Δεν φαίνεται καλά η σχέση(φαίνεται μια παράγωγος)

Είναι

\displaystyle f ''(x)=p(x)f(x)


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 636
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: D.E

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Φεβ 28, 2020 6:45 pm

Μα με {f}' μα με {f}'' η απόδειξη είναι παρόμοια.

Πάμε με {f}'.

Η f έχει μέγιστο M στο [a,b].

Αν η θέση μεγίστου x_M είναι εσωτερική από Fermat παίρνουμε {f}'(x_M)=0\Rightarrow f(x_M)=0\Rightarrow M=0.

Αν το μέγιστο πιάνεται σε άκρο (ρίζα) τότε πάλι M=0.

Όμοια βρίσκουμε ότι το ελάχιστο m=0 και έχουμε τελειώσει.

(εδώ δεν μας απασχολεί τι κάνει το p(x) αρκεί να μην μηδενίζεται στις θέσεις ακροτάτων για να βγει συμπέρασμα)

Πάμε με {f}''.

Η f έχει μέγιστο M \geq0 στο [a,b].

Αν η θέση μεγίστου x_M είναι εσωτερική τότε από το κριτήριο δεύτερης παραγώγου παίρνουμε

{f}''(x_M)\leq 0\Rightarrow f(x_M)=M\leq 0\Rightarrow M=0.

Αν το μέγιστο πιάνεται σε άκρο (ρίζα) τότε πάλι M=0.

Όμοια βρίσκουμε ότι το ελάχιστο m=0 και έχουμε τελειώσει.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: D.E

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 28, 2020 7:01 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Φεβ 28, 2020 6:45 pm

Μα με {f}' μα με {f}'' η απόδειξη είναι παρόμοια.
Υπάρχει μια σημαντική διαφορά.
Αν f'(x)=p(x)f(x) σε διάστημα ,με συνεχή μόνο την p και η f μηδενίζεται
σε ένα σημείο τότε είναι η μηδενική.
Δηλαδή οι προυποθέσεις είναι πολύ ασθενέστερες.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: D.E

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 28, 2020 7:46 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Φεβ 28, 2020 7:01 pm
Υπάρχει μια σημαντική διαφορά.
Αν f'(x)=p(x)f(x) σε διάστημα ,με συνεχή μόνο την p και η f μηδενίζεται
σε ένα σημείο τότε είναι η μηδενική.
Δηλαδή οι προυποθέσεις είναι πολύ ασθενέστερες.
Σωστά. Και μία απλή απόδειξη είναι η εξής: Αν P παράγουσα της p, τότε η αρχική γράφεται ισοδύναμα

 e^{-P(x)} f'(x) -   e^{-P(x)} p(x)f(x)=0.

Άρα \displaystyle{(e^{-P(x)} f(x))'=0}, δηλαδή \displaystyle{e^{-P(x)} f(x) = c}. Που σημαίνει ότι αν η f μηδενίζεται κάπου τότε η σταθερά είναι 0, και άρα η f μηδενίζεται παντού.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2231
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: D.E

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Φεβ 29, 2020 6:12 pm

συγνώμη για την ταλαιπωρία το σωστο είναι δεύτερη παράγωγος
\displaystyle{f''(x)=p(x)f(x)}
γνωστό απο την θεωρία δυναμικού αν θυμάμαι καλά


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: D.E

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Μαρ 01, 2020 12:51 pm

Το θεώρημα αυτό ονομάζεται θεώρημα της αρχής του μεγίστου.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης