D.E

#1

΄Εστω συνάρτηση $\displaystyle{ f : f ΄΄(x)=p(x)f(x) , p(x)>0 }$ και συνεχής στο $\displaystyle{ R}$ . Τότε αν η $\displaystyle{ f}$ έχει δυο ρίζες $\displaystyle{a ,b}$ δείξτε ότι $\displaystyle{ f(x)=0,x\in [a,b] }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

R BORIS έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2020 9:47 am
΄Εστω συνάρτηση $\displaystyle{ f : f ΄΄(x)=p(x)f(x) , p(x)>0 }$ και συνεχής στο $\displaystyle{ R}$ . Τότε αν η $\displaystyle{ f}$ έχει δυο ρίζες $\displaystyle{a ,b}$ δείξτε ότι $\displaystyle{ f(x)=0,x\in [a,b] }$

Δεν φαίνεται καλά η σχέση(φαίνεται μια παράγωγος)

Είναι

$\displaystyle f ''(x)=p(x)f(x)$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Μα με

μα με

η απόδειξη είναι παρόμοια.

Πάμε με {f}'

.

Η

έχει μέγιστο

στο

.

Αν η θέση μεγίστου x_M

είναι εσωτερική από Fermat παίρνουμε ${f}'(x_M)=0\Rightarrow f(x_M)=0\Rightarrow M=0.$

Αν το μέγιστο πιάνεται σε άκρο (ρίζα) τότε πάλι M=0.

Όμοια βρίσκουμε ότι το ελάχιστο m=0

και έχουμε τελειώσει.

(εδώ δεν μας απασχολεί τι κάνει το p(x)

αρκεί να μην μηδενίζεται στις θέσεις ακροτάτων για να βγει συμπέρασμα)

Πάμε με {f}''

.

Η

έχει μέγιστο $M \geq0$ στο [a,b]

.

Αν η θέση μεγίστου x_M

είναι εσωτερική τότε από το κριτήριο δεύτερης παραγώγου παίρνουμε

${f}''(x_M)\leq 0\Rightarrow f(x_M)=M\leq 0\Rightarrow M=0.$

Αν το μέγιστο πιάνεται σε άκρο (ρίζα) τότε πάλι M=0.

Όμοια βρίσκουμε ότι το ελάχιστο m=0

και έχουμε τελειώσει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2020 6:45 pm

Μα με μα με η απόδειξη είναι παρόμοια.

Υπάρχει μια σημαντική διαφορά.
Αν f'(x)=p(x)f(x)

σε διάστημα ,με συνεχή μόνο την

και η

μηδενίζεται
σε ένα σημείο τότε είναι η μηδενική.
Δηλαδή οι προυποθέσεις είναι πολύ ασθενέστερες.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2020 7:01 pm
Υπάρχει μια σημαντική διαφορά.
Αν σε διάστημα ,με συνεχή μόνο την και η μηδενίζεται
σε ένα σημείο τότε είναι η μηδενική.
Δηλαδή οι προυποθέσεις είναι πολύ ασθενέστερες.

Σωστά. Και μία απλή απόδειξη είναι η εξής: Αν

παράγουσα της

, τότε η αρχική γράφεται ισοδύναμα

$e^{-P(x)} f'(x) - e^{-P(x)} p(x)f(x)=0$ .

Άρα $\displaystyle{(e^{-P(x)} f(x))'=0}$ , δηλαδή $\displaystyle{e^{-P(x)} f(x) = c}$ . Που σημαίνει ότι αν η

μηδενίζεται κάπου τότε η σταθερά είναι

, και άρα η

μηδενίζεται παντού.

#6

συγνώμη για την ταλαιπωρία το σωστο είναι δεύτερη παράγωγος
$\displaystyle{f''(x)=p(x)f(x)}$
γνωστό απο την θεωρία δυναμικού αν θυμάμαι καλά

Christos.N · #7

Το θεώρημα αυτό ονομάζεται θεώρημα της αρχής του μεγίστου.

D.E

D.E

Re: D.E

Re: D.E

Re: D.E

Re: D.E

Re: D.E

Re: D.E

Μέλη σε σύνδεση