Min και Max

#1

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{b}$ και η μέγιστη τιμή του $\displaystyle{a,}$ ώστε να ισχύει

$\displaystyle{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+a}\leq e\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+b}}$

για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ .

#2

matha έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 9:32 am
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{b}$ και η μέγιστη τιμή του $\displaystyle{a,}$ ώστε να ισχύει

$\displaystyle{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+a}\leq e\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+b}}$

για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ .

Επειδή θα μας χρειαστεί παρακάτω ας δείξουμε πρώτα

Λήμμα. Η $\displaystyle{\dfrac {1}{\ln (x+1)} -\dfrac {1}{x} }$ είναι φθίνουσα στο (0,1]

.

Πράγματι, έχει παράγωγο $\displaystyle{-\dfrac {1}{(x+1)(\ln (x+1))^2} +\dfrac {1}{x^2} }$ . Θα δείξουμε ότι είναι

, ισοδύναμα $\displaystyle{\ln (1+x) \le \frac {x}{\sqrt {1+x}}$ . Θέτουμε $y= \ln (1+x)$ οπότε $y\ge 0$ και e^y=1+x

. H αποδεικτέα γίνεται $\displaystyle{y \le \dfrac {e^y-1}{e^{y/2}} = e^{y/2}-e^{-y/2},\,(*)}$ .

Από το ανάπτυγμα του e^t

ως δυναμοσειρά, δεξί μέλος έχει ανάπτυγμα μόνο περιττές δυνάμεις του

και όλους τους συντελεστές θετικούς. Συγκεκριμένα

$\displaystyle{ e^{y/2}-e^{-y/2}= 2\left ( \dfrac {y}{2}\right ) + \dfrac {2}{3!}\left ( \dfrac {y}{2}\right )^3 +\dfrac {2}{5!}\left ( \dfrac {y}{2}\right )^5 +... }$

Κρατώντας μόνο τον πρώτο όρο, έπεται η (*)

. Τελειώσαμε.

Πίσω στο αρχικό ερώτημα: Παίρνοντας λογαρίθμους η δοθείσες γίνονται

$\displaystyle{a\le \dfrac {1-n\ln (1+1/n) }{\ln (1+1/n) } \le b \, (**)}$ . Βάζοντας x=1/n

η παράσταση στη μέση γίνεται $\displaystyle{\dfrac {1-\dfrac {1}{x}\ln (1+x) }{\ln (1+x) } = \dfrac {1}{\ln (x+1)} -\dfrac {1}{x} }$ . Από το Λήμμα είναι φθίνουσα, δηλαδή όσο πιο μικρό το

τόσο πιο μεγάλη η τιμή του $\displaystyle{ \dfrac {1-n\ln (1+1/n) }{\ln (1+1/n) } }$ . Ειδικά η μικρότερη τιμή του προκύπτει από n=1

και η μεγαλύτερη προκύπτει οριακά (ως αύξουσα ακολουθία) από το όριό της στο $+\infty$ .

Ειδικά η (**)

δίνει $\displaystyle{\boxed {a\le \dfrac {1-\ln 2 }{\ln 2 } \approx 0,44}}$ . Επίσης

$\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \dfrac {1-n\ln (1+1/n) }{\ln (1+1/n) } \le b}$ . Με διπλό l' Hospital μέσω του $\displaystyle{ \lim _{x\to 0} \dfrac {1-\dfrac {1}{x}\ln (1+x) }{\ln (1+x)} = \dfrac {1}{2}}$ (απλή άσκηση αλλά και άλλος τρόπος είναι μέσω $\displaystyle{\ln(1+x) = x-x^2/2 +O(x^3)}$ συμπεραίνουμε

$\displaystyle{\boxed {\dfrac {1}{2} \le b}}$

Οι τιμές των a,b

είναι βέλτιστες γιατί "πιάνονται".

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

matha έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 9:32 am
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{b}$ και η μέγιστη τιμή του $\displaystyle{a,}$ ώστε να ισχύει

$\displaystyle{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+a}\leq e\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+b}}$

για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ .

Το θέμα τουλάχιστον σε εμένα ήταν γνωστό.
Κυρίως η μονοτονία των δύο ακολουθιών.
Εδω πάει πακέτο για ποια $x \in (0,1)$ η ακολουθία
$\displaystyle{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+x}$ είναι μονότονη
ποιο το είδος της μονοτονίας.
Για τα

που δεν είναι μονότονη να αποδειχθεί ότι είναι τελικά μονότονη.
(Ισως έχει συζητηθεί στο

)
Λύνοντας τα παραπάνω ,με λίγη προσοχή βρίσκουμε τα a,b

.

Min και Max

Min και Max

Re: Min και Max

Re: Min και Max

Μέλη σε σύνδεση