ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ

Συντονιστής: emouroukos

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Απρ 18, 2020 3:23 am

Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τον κύκλο C_0 που έχει κέντρο το K(1,0) και ακτίνα r_0=1

και τον κύκλο C που έχει κέντρο το σημείο O(0,0) και μεταβλητή ακτίνα r\in (0,2).

Αν A το σημείο τομής των κύκλων C και C_0 που βρίσκεται στο 1^o τεταρτημόριο,

M το σημείο τομής του C με τον ημιάξονα Oy, N το σημείο τομής της ευθείας MA

με τον ημιάξονα Ox και x(r) η τετμημένη του N, να αποδείξετε ότι:

\lim_{r\rightarrow 0}x(r)=4.
Του Γιώργου Πολύζου



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 18, 2020 9:29 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Απρ 18, 2020 3:23 am
Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τον κύκλο C_0 που έχει κέντρο το K(1,0) και ακτίνα r_0=1

και τον κύκλο C που έχει κέντρο το σημείο O(0,0) και μεταβλητή ακτίνα r\in (0,2).

Αν A το σημείο τομής των κύκλων C και C_0 που βρίσκεται στο 1^o τεταρτημόριο,

M το σημείο τομής του C με τον ημιάξονα Oy, N το σημείο τομής της ευθείας MA

με τον ημιάξονα Ox και x(r) η τετμημένη του N, να αποδείξετε ότι:

\lim_{r\rightarrow 0}x(r)=4.
Ο C_o είναι ο (x-1)^2+y^2=1 και ο C είναι ο x^2+y^2=r^2. Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε A\left (\frac {r^2}{2},\, \frac {r}{2}\sqrt {4-r^2}\right ). Επίσης είναι M(0,r), άρα η ευθεία MA είναι η

\displaystyle{y-r= \dfrac {r- \frac {r}{2}\sqrt {4-r^2}}{0-\frac {r^2}{2}}x}

από όπου \displaystyle{x(r) = \dfrac {r^2}{2-\sqrt {4-r^2}}= 2+\sqrt {4-r^2}\to 4}


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1915
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Απρ 18, 2020 2:21 pm

Αν είναι B(2,0), το δεύτερο σημείο τομής το πρώτου κύκλου, εκτός της αρχής O, με τον οριζόντιο άξονα, τότε φορσέ και απλό το τρίγωνο ABN είναι ισοσκελές με BN=BA. Αλλά το BA τείνει στο BO και είναι BO=2, άρα κ.λπ. το N τείνει να γίνει το (4,0)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες