Ολοκλήρωμα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 24, 2020 10:11 pm

Ας ξανά προτείνω το παρακάτω ολοκλήρωμα το οποίο είχα θέσει στη συλλογή των ολοκληρωμάτων .

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιαν 20, 2020 8:19 pm
Άσκηση 66


Έστω g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} η οποία ορίζεται ως:

\displaystyle{g(s)=\left\{\begin{matrix} 
1 & , & s\geq \frac{1}{2} \\\\  
0 & , & s<\frac{1}{2}  
\end{matrix}\right.}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \bigintsss_0^1 g\left ( \cos \pi x \right )\, \mathrm{d}x.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Απρ 24, 2020 10:38 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Απρ 24, 2020 10:11 pm
Ας ξανά προτείνω το παρακάτω ολοκλήρωμα το οποίο είχα θέσει στη συλλογή των ολοκληρωμάτων .

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιαν 20, 2020 8:19 pm
Άσκηση 66


Έστω g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} η οποία ορίζεται ως:

\displaystyle{g(s)=\left\{\begin{matrix} 
1 & , & s\geq \frac{1}{2} \\\\  
0 & , & s<\frac{1}{2}  
\end{matrix}\right.}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \bigintsss_0^1 g\left ( \cos \pi x \right )\, \mathrm{d}x.
Χανω κάτι;
Προφανές δεν είναι ότι είναι \frac{1}{3};


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Απρ 24, 2020 10:46 pm

Η συνάρτηση g είναι φραγμένη στο \left[0,1\right] με ένα σημείο ασυνέχειας το x=\dfrac{1}{2}, άρα είναι Riemann ολοκληρώσιμη.

Για 0\leq x\leq \dfrac{1}{3} έχουμε 0\leq \pi\,x\leq \dfrac{\pi}{3}\implies \dfrac{1}{2}\leq \cos\,(\pi\,x)\leq 1\implies g(\cos\,\pi\,x)=1 ενώ αν

\dfrac{1}{3}< x\leq 1 τότε \dfrac{\pi}{3}< \pi\,x\leq \pi\implies -1\leq \cos\,(\pi\,x)<\dfrac{1}{2}\implies g\,(\cos\,(\pi\,x))=0

Συνεπώς,

\displaystyle{\int_{0}^{1}g\,(\cos\,\pi\,x)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης