Τιμές του λ

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τιμές του λ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μάιος 21, 2020 11:11 am

Να βρεθούν οι τιμές του \lambda \in \mathbb{R} ώστε e^x - \lambda x \geq 0 για κάθε x \in \mathbb{R}.


Άνευ λύσης!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4689
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τιμές του λ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μάιος 21, 2020 11:39 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Μάιος 21, 2020 11:11 am
Να βρεθούν οι τιμές του \lambda \in \mathbb{R} ώστε e^x - \lambda x \geq 0 για κάθε x \in \mathbb{R}.


Άνευ λύσης!
Kαλημέρα Αποστόλη.


 \displaystyle f:R \to R,\;\;f\left( x \right) = {e^x} - \lambda x

Είναι  \displaystyle f'\left( x \right) = {e^x} - \lambda .

Αν  \displaystle \lambda  < 0 , τότε  \displaystle f\; \nearrow στο R με  \displaystle \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty , οπότε δεν μπορεί να ισχύει το ζητούμενο της εκφώνησης.

Αν  \displaystle \lambda  = 0 , τότε  \displaystle f\left( x \right) = {e^x} > 0\;\;\forall x \in R .

Για  \displaystle \lambda  > 0 ,  \displaystle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln \lambda .

Είναι  \displaystle f'\left( x \right) < 0\;\;\gamma \iota \alpha \;x < \ln \lambda \;\; \vee f'\left( x \right) > 0\;\;\gamma \iota \alpha \;x > \ln \lambda \; , οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση  \displaystle x{ & _0} = \ln \lambda με τιμή  \displaystle f\left( {\ln \lambda } \right) = \lambda  - \lambda \ln \lambda .

Για να ισχύει το ζητούμενο της εκφώνησης πρέπει και αρκεί

 \displaystle \lambda  - \lambda \ln \lambda  \ge 0 \Leftrightarrow \lambda \left( {1 - \ln \lambda } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln \lambda  \le 1 \Leftrightarrow \lambda  \le e

Οπότε το ζητούμενο της εκφώνησης ισχύει όταν  \displaystle \lambda  \in \left[ {0,\;e} \right] .

edit: Διόρθωσα και συμπλήρωσα την απάντηση με την υπόδειξη του Χρήστου στην παρακάτω ανάρτηση, διακρίνοντας τις περιπτώσεις  \lambda < 0 και  \lambda = 0.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Πέμ Μάιος 21, 2020 12:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1848
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Τιμές του λ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Μάιος 21, 2020 12:09 pm

Γιώργο καλημέρα.

Και για \lambda=0 ικανοποιείται η ανίσωση για κάθε x\in\mathbb{R}
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Πέμ Μάιος 21, 2020 12:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1848
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Τιμές του λ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Μάιος 21, 2020 12:22 pm

Ένας άλλος τρόπος είναι να θεωρήσουμε την συνάρτηση f(x)=\dfrac{e^x}{x},~x\in\mathbb{R}^*

Όταν x<0 έχουμε f(x)<0

Όταν x>0 έχουμε f(x)\ge e=f(1)

Η αρχική ανίσωση αντίστοιχα είναι ισοδύναμη με την f(x)\ge\lambda,~x>0 και f(x)\le\lambda,~x<0 ενώ επαληθεύεται για κάθε τιμή του \lambda αν x=0. Εμείς ζητάμε να επαληθεύται για κάθε x\in\mathbb{R}, άρα θα συναληθεύσουμε τα επιμέρους διατήματα ως προς \lambda.

Για την πρώτη \lambda\in(-\infty,e] γαι την δεύτερη \lambda\in[0,+\infty) ενώ για την τρίτη περίπτωση \lambda\in\mathbb{R}

Τελικά \lambda\in[0,e].


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1848
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Τιμές του λ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Μάιος 21, 2020 12:32 pm

Νομίζω ότι το θέμα μπορεί να μεταφερθεί σε άλλο φάκελο, π.χ. "θέματα με απαιτήσεις" ή στον πιο ταιριαστό "θέματα σε όλη την ύλη".


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
vasisot
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Τετ Μαρ 16, 2011 3:00 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Τιμές του λ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasisot » Πέμ Μάιος 21, 2020 3:28 pm

Πρόκειται για την άσκηση 9 , \Gamma ' ομάδας κεφ 2 του σχολικού βιβλίου. Κατά τη γνώμη μου είναι μια πολύ όμορφη (δύσκολη) άσκηση που στηρίζεται στο περίφημο αξίωμα του μεγίστου κάτω φράγματος ( ή ισοδύναμα του ελαχίστου άνω φράγματος) .
  f(x)\ge k,  \forall x \in \double R \Leftrightarrow  \min f(x)\ge k , όπου k το 0 ή το \lambda ανάλογα με την επιλογή της f(x).
Συνημμένα
εαφ.png
εαφ.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές


Σωτήρης Βασιλείου
\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.07pt}}
Although this may seem a paradox, all exact science is dominated by the idea of approximation. Bertrand Russell
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Τιμές του λ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μάιος 21, 2020 9:48 pm

Συνειδητοποιώ εκ των υστέρων ότι η τεχνική που εφαρμόστηκε εδώ μπορεί να δουλέψει και στο θέμα εδώ.
cretanman έγραψε:Αλέξανδρε το θυμάσαι;
Είναι \displaystyle{e^x - \lambda x \geq 0 \Leftrightarrow e^x \geq \lambda x \Leftrightarrow \lambda x e^{-x} \leq 1  \Leftrightarrow f(x) \leq 1}. Η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με παράγωγο

\displaystyle{f'(x) = \lambda e^{-x} \left ( 1- x \right )}
Είναι \displaystyle{f'(x) =0 \Leftrightarrow x=1}. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

  • Αν \lambda>0 τότε η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x=1 ίσο με \displaystyle{f(1) = \frac{\lambda}{e}}. Όμως f(x) \leq 1 οπότε \lambda \leq e.
  • Αν \lambda<0 τότε η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x=1 ίσο με \displaystyle{f(1) =\frac{\lambda}{e}}. Οπότε η ανισότητα που μας δίδεται δε μπορεί να ισχύει για κάθε \lambda <0 διότι η f ως συνεχής θα έχει σύνολο τιμών

    \displaystyle{f(\mathbb{R}) = \left [ f(1), \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) \right ) \cup \left [ f(1), \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \right ) = \left [ \frac{\lambda}{e}, +\infty \right )  \cup \left [ \frac{\lambda}{e} , 0 \right ) = \left [ \frac{\lambda}{e}, +\infty \right )}


    οπότε απορρίπτεται.
  • Για \lambda=0 προφανώς η ανίσωση ισχύει για κάθε x \in \mathbb{R}.

Συναληθεύοντας λοιπόν έχουμε \lambda \in [0, e].


Υ.Σ: Αν μπορεί να μετακινηθεί στο ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ θα ήταν ωραίο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τιμές του λ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 21, 2020 11:56 pm

Για να δούμε μια λύση με ακροβατικά.
Αν \lambda < 0 τότε για x= \frac{1}{\lambda } παίρνουμε ότι
\displaystyle e^{\frac{1}{\lambda }}>1
ΑΤΟΠΟ.
Αν \lambda > e τότε για x=1 εχουμε άτοπο.

Εστω 0\leq \lambda\leq e

για x<0 τετριμμένα ισχύει.

Για 0\leq x είναι

\displaystyle e^{x}=ee^{x-1}\geq e(1+x-1)=ex\geq \lambda x

Αρα ισχύει αν και μόνο αν 0\leq \lambda\leq e


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1848
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Τιμές του λ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Μάιος 22, 2020 1:31 am

Ωραία λύση Σταυρό! Αλλά πολύ διαισθητική η σύλληψη.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης