Συναρτησιακή σχέση

Συντονιστής: emouroukos

Nikos127
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Αύγ 07, 2019 1:40 pm

Συναρτησιακή σχέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos127 » Τρί Αύγ 18, 2020 10:51 am

Δεν έχω λυση. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[0,1] \to [0,1] για την οποία ισχύει f(x)=f(x^3). Να βρεθεί η f.



Λέξεις Κλειδιά:
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 287
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή σχέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Αύγ 18, 2020 1:21 pm

Δεν γνωρίζω αν υπάρχει λύση αυστηρά εντός του φακέλου.

Αρχικά, κάθε σταθερή συνάρτηση στο [0,1] ικανοποιεί τους παραπάνω περιορισμούς. Θεωρούμε τώρα ένα a\in(0,1). Τότε από την υπόθεση έχουμε ότι:

\displaystyle{f(a)=f(a^3)=f(a^9)=f(a^{27})=\ldots=f(a^{3^n})=\ldots,}

Τώρα, αφού a\in(0,1), η ακολουθία x_n=a^{3^n} είναι συγκλίνουσα και μάλιστα x_n\to0. Τότε, από την αρχή της μεταφοράς (για τη συνέχεια) παίρνουμε:

\displaystyle{\lim f(x_n)=f(\lim x_n)=f(0)\Rightarrow f(a)=f(0),}

επομένως, αφού το a\in(0,1) ήταν αυθαίρετο, η f είναι σταθερή στο [0,1). Λόγω συνέχειας, θα είναι σταθερή και στο [0,1].


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ

Re: Συναρτησιακή σχέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ » Τρί Αύγ 18, 2020 6:49 pm

Δε νομίζω ότι αυτή η άσκηση έχει σχέση με τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 287
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή σχέση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Αύγ 18, 2020 9:30 pm

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 6:49 pm
Δε νομίζω ότι αυτή η άσκηση έχει σχέση με τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.
Κι εγώ δε βλέπω άμεση λύση στα πλαίσια της ύλης του λυκείου - ίσως βέβαια, απλά να μας διαφεύγει.

Ας μας πει ο θεματοθέτης που βρήκε την παραπάνω άσκηση, μήπως καταλάβουμε περισσότερα.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Nikos127
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Αύγ 07, 2019 1:40 pm

Re: Συναρτησιακή σχέση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos127 » Τρί Αύγ 18, 2020 9:45 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 9:30 pm
ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 6:49 pm
Δε νομίζω ότι αυτή η άσκηση έχει σχέση με τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.
Κι εγώ δε βλέπω άμεση λύση στα πλαίσια της ύλης του λυκείου - ίσως βέβαια, απλά να μας διαφεύγει.

Ας μας πει ο θεματοθέτης που βρήκε την παραπάνω άσκηση, μήπως καταλάβουμε περισσότερα.
Την άσκηση αυτή την είδα στο ίντερνετ, ήταν συναρτησιακή σχέση οπότε υπέθεσα πως θα λύνεται με του γ Λυκείου, απ'ότι φαίνεται δεν λυνόταν με αυτήν την ύλη αλλά δεν το γνώριζα όταν έκανα την ανάρτηση καθώς δεν ήξερα πως λύνεται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3231
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή σχέση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Αύγ 18, 2020 9:55 pm

Nikos127 έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 9:45 pm
Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 9:30 pm
ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 6:49 pm
Δε νομίζω ότι αυτή η άσκηση έχει σχέση με τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.
Κι εγώ δε βλέπω άμεση λύση στα πλαίσια της ύλης του λυκείου - ίσως βέβαια, απλά να μας διαφεύγει.

Ας μας πει ο θεματοθέτης που βρήκε την παραπάνω άσκηση, μήπως καταλάβουμε περισσότερα.
Την άσκηση αυτή την είδα στο ίντερνετ, ήταν συναρτησιακή σχέση οπότε υπέθεσα πως θα λύνεται με του γ Λυκείου, απ'ότι φαίνεται δεν λυνόταν με αυτήν την ύλη αλλά δεν το γνώριζα όταν έκανα την ανάρτηση καθώς δεν ήξερα πως λύνεται.
Αφού δεν έχεις λύση και δεν την έχεις δει σε κάποιο βιβλίο που είναι για Γ Λυκείου
γιατί την βάζεις σε αυτό τον φάκελο;
Μπορεί ένας μαθητής να προσπαθήσει να την λύσει και να φάει τα μούτρα του.
Αυτός ο μαθητής θα μπορούσε να ήσουν και εσύ.
Θα σε παρακαλούσα να είσαι πιο προσεκτικός στο μέλλον.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3231
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή σχέση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Αύγ 18, 2020 10:02 pm

Nikos127 έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 10:51 am
Δεν έχω λυση. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[0,1] \to [0,1] για την οποία ισχύει f(x)=f(x^3). Να βρεθεί η f.
Επί της ουσίας.
Δεν χρειάζεται το πεδίο τιμών να είναι το [0,1]
Θα μπορούσε να δοθεί ότι

f:[0,1] \to \mathbb{R}

Επίσης κάνοντας ''μαγικά'' θα μπορούσε η λύση του Βασίλη
να προσαρμοστεί σε σχολικά δεδομένα.
Δεν βρίσκω δόκιμο να γράψω τέτοια λύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης