ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

#1

Για να θυμηθούμε τις ωραίες ακολουθίες από το παρελθόν :

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδειχθεί ότι $n^{n+1} >(n+1)^n, n\geq 3$

Ποιας ακολουθίας την σύγκλιση εξασφαλίζει η παραπάνω ανισότητα ;

Και μια και την αναφέραμε : πώς θα βρούμε το όριό της(βασική άσκηση-πρόταση) ;

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 9:10 pm
Για να θυμηθούμε τις ωραίες ακολουθίες από το παρελθόν :

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδειχθεί ότι $n^{n+1} >(n+1)^n, n\geq 3$

Ποιας ακολουθίας την σύγκλιση εξασφαλίζει η παραπάνω ανισότητα ;

Και μια και την αναφέραμε : πώς θα βρούμε το όριό της(βασική άσκηση-πρόταση) ;

H αρχική δεν είναι δύσκολη αν χρησιμοποιήσουμε μία γνωστή (το δεξί μέλος τη παρακάτω). Είναι ισοδύναμη της

$\displaystyle{ n \ge 3 \ge \left ( 1+\dfrac {1}{n} \right ) ^n}$ .

Παίρνοντας $\displaystyle{\sqrt [n(n+1)]{...} }$ και στα δύο μέλη, γίνεται

$\displaystyle{\sqrt [n]{n} \ge \sqrt [n+1]{n+1} }$

Όδηγεί, μέσω φθίνουσας και κάτω φραγμένης από το

, συν λίγο δουλίτσα, στο $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \sqrt [n]{n} =1}$

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 9:52 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 9:10 pm
Για να θυμηθούμε τις ωραίες ακολουθίες από το παρελθόν :

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδειχθεί ότι $n^{n+1} >(n+1)^n, n\geq 3$

Ποιας ακολουθίας την σύγκλιση εξασφαλίζει η παραπάνω ανισότητα ;

Και μια και την αναφέραμε : πώς θα βρούμε το όριό της(βασική άσκηση-πρόταση) ;
H αρχική δεν είναι δύσκολη αν χρησιμοποιήσουμε μία γνωστή (το δεξί μέλος τη παρακάτω). Είναι ισοδύναμη της

$\displaystyle{ n \ge 3 \ge \left ( 1+\dfrac {1}{n} \right ) ^n}$ .

Παίρνοντας $\displaystyle{\sqrt [n(n+1)]{...} }$ και στα δύο μέλη, γίνεται

$\displaystyle{\sqrt [n]{n} \ge \sqrt [n+1]{n+1} }$

Όδηγεί, μέσω φθίνουσας και κάτω φραγμένης από το , συν λίγο δουλίτσα, στο $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \sqrt [n]{n} =1}$

Μιχάλη, σε ευχαριστώ και για την άμεση απόδειξη, που για όποιον γνωρίζει το

είναι λογική.

Απλά το απόγευμα ασχολήθηκα με την επαγωγική απόδειξη και έχει κάποια καλά αλγεβρικά σημεία.

Όλα αυτά πρέπει πια να τα ακούσει για πρώτη φορά κάποιος στο Πανεπιστήμιο.

Αλλά πόσα να ακούσει στο πρώτο εξάμηνο(τρίμηνο στην ουσία);

Δεν ξέρει τριγωνομετρία(ούτε τους τύπους αθροίσματος -διαφοράς, δεν λέω για μετασχηματισμούς), δεν έχει ακούσει ποτέ για Μαθηματική Επαγωγή, για διαιρετότητα, για Μιγαδικούς αριθμούς, για όριο ακολουθίας, για ανισότητα Cauchy, ανισότητα AM-GM-HM, για σύνολα(πλην ελάχιστων στοιχείων), για διμελείς σχέσεις, στοιχειώδη προτασιακό λογισμό, βασικές αρχές της συνδυαστικής, για πιθανότητα και δεν ξέρω πόσα άλλα ; Δεν περνάω στη Γεωμετρία !

Φτάνει αυτός ο χρόνος για να τα αφομοιώσουν στοιχειωδώς οι φοιτητές ;

Νομίζω ότι το Μαθηματικό ειδικά πρέπει να γίνει 5 χρόνια και στο πρώτο έτος ο φοιτητής να διδάσκεται όσα κάποτε θα διδάξει και λίγα παραπάνω(γιατί θα γίνει μαθηματικός). Έτσι κι αλλιώς πόσοι το τελειώνουν νωρίτερα ; Αλλά για όσους το μπορούν, ας δίνεται το πτυχίο και σε δύο χρόνια. Έχουμε εμείς κάποιο ...πρόβλημα, αν ο άλλος είναι γεννημένος για μαθηματικά ;

Χαιρετώ !

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 9:10 pm
Για να θυμηθούμε τις ωραίες ακολουθίες από το παρελθόν :

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδειχθεί ότι $n^{n+1} >(n+1)^n, n\geq 3$

Ποιας ακολουθίας την σύγκλιση εξασφαλίζει η παραπάνω ανισότητα ;

Και μια και την αναφέραμε : πώς θα βρούμε το όριό της(βασική άσκηση-πρόταση) ;

Για να κάνουμε μια απόδειξη με ύλη Α Λυκείου(την παλιά)
Πρέπει να δείξουμε ότι

$\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n}< n,n\geq 3$

Το μόνο που χρειαζόμαστε είναι ότι

$\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+....+b^{n-1})$

και ειδικότερα το

$\displaystyle a^{n}-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+a^{n-3}+....+a+1)$

Βάζουμε όπου $\displaystyle a=1+\frac{1}{n}$
και έχουμε

$\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n}-1=\frac{1}{n}((1+\frac{1}{n})^{n-1}+(1+\frac{1}{n})^{n-2}+...+(1+\frac{1}{n})^{2}+1+\frac{1}{n}+1)<$
$\displaystyle \frac{1}{n}((n-2)(1+\frac{1}{n})^{n}+2+\frac{1}{n})=(1-\frac{2}{n})(1+\frac{1}{n})^{n}+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}<$
$\displaystyle (1-\frac{2}{n})(1+\frac{1}{n})^{n}+\frac{3}{n}$

Αρα
$\displaystyle \frac{2}{n}(1+\frac{1}{n})^{n}< 1+\frac{3}{n}$

και τελικά

$\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n}< \frac{n}{2}(1+\frac{3}{n})\leq n$

#5

Μπορούμε και με (πάλαι ποτέ) επαγωγή.

Αφού ελέγξουμε την περίπτωση n=3

, στο επαγωγικό βήμα κάνουμε ένα μικρό τεχνασμα για να γλυτώσουμε τις επίπονες πράξεις. Είναι στο πρώτο βήμα στην παρακάτω

$\displaystyle{\displaystyle \left (1+\frac{1}{n+1}\right )^{n+1} < \left (1+\frac{1}{n}\right )^{n+1} = \left (1+\frac{1}{n}\right )^{n}\cdot \left (1+\frac{1}{n}\right ) <n \left (1+\frac{1}{n}\right )=n+1}$

#6

Μιχάλη,

μετά το προχθεσινό σου μήνυμα με την βασική ανισότητα (..<3), σκέφτηκα να κάνω την απόδειξη επαγωγικά και κατά τύχη είδα ότι είναι αυτή που ανάρτησες.
Νομίζω ότι είναι η πιο απλή απόδειξη, μαζί με μια που είδα στο stuckexchage που κάνει απαγωγή σε άτοπο στην Ρ(ν+1) και πολλαπλασιάζει με την Ρ(ν).

Σταύρο, δεν την είχα ξαναδεί αυτή την απόδειξη. Όλο πρωτοτυπίες είσαι !!!

Να είσαι καλά !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ

#7

Ας το δούμε χρησιμοποιώντας και το διωνυμικό θεώρημα. Έχουμε:

$\displaystyle \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n^k}{n^k} + \frac{n}{n^{n-1}} + \frac{1}{n^n} = n-1 + \frac{n^2+1}{n^n} < n$

BAGGP93 · #8

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}\,,x>0$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με $f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}\,,x>0$ , άρα συμπεραίνουμε ότι η

γνησίως αύξουσα στο $\left(0,e\right]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\left[e,+\infty\right)$ . Έτσι, για $n\geq 3>e$ έχουμε και n+1>e

και συνεπώς $\displaystyle{f(n)>f(n+1)\implies \dfrac{\ln(n)}{n}>\dfrac{\ln(n+1)}{n+1}\implies \ln(n^{n+1})>\ln((n+1)^n)\implies n^{n+1}>(n+1)^n}$

#9

Βαγγέλη χρησιμοποίησες ότι e < 3

. Για να αποφύγουμε να χρησιμοποιήσουμε το ζητούμενο πρέπει να προσέξουμε πως θα ορίσουμε το

. Αν το ορίσουμε ως $\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ τότε έχουμε θέμα. Μπορούμε βέβαια να ορίσουμε την $\exp(x)$ ως δυναμοσειρά (αποδεικνύονται όλες οι γνωστές ιδιότητες) και μετά το $\displaystyle e = \exp(1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}.$

Θα μπορούσε ίσως κάποιος εδώ να απαιτήσει την απόδειξη ότι e < 3

αλλά νομίζω είναι απλούστερο από το ζητούμενο. Απλά συγκρίνουμε τη σειρά του

με την $\displaystyle 1 + 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 3$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Αν είμαστε εντός φακέλου οι αποδείξεις είναι πολλές !!!!!!!!!!
Δεν τολμώ να αρχίσω να γράφω.
Το θέμα είναι να είναι όσο το δυνατόν στοιχειωδεις.
Αν δεχθούμε την $(1+a)^{n}\geq 1+na,a> -2,n\in \mathbb{N}$
(ισχύει και αυτή )
τότε το πιο οικονομικό είναι

$2< (1+\frac{1}{n})^{n}< (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}< (1+\frac{1}{n})^{n+1}<(1+\frac{1}{n-1})^{n}\leq 4,n\geq 2$

Αν δεχθούμε το διωνυμικό ανάπτυγμα τότε εύκολα όπως έκανε ο Δημήτρης είναι

$\displaystyle(1+\frac{1}{n})^{n}\leq 1+1+\frac{1}{2!}+....+\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\sum_{n=4}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}<3$
Αφού
$\displaystyle \frac{n!}{2^{n}}=\frac{1.2.3.....n}{2.2.2...2}=\frac{1}{2}\frac{2.3.4...(n-1)}{2.2...2}\frac{n}{2}> 1,n\geq 4$

Αυτά όμως είναι γνωστά.
Με την προηγούμενη ιδέα θα δείξω ότι
$\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n}\leq 6$
(αν τραβηχθεί νομίζω ότι βελτιώνεται)
Είναι

$\displaystyle (1+\frac{1}{2n})^{2n}-1=\frac{1}{2n}((1+\frac{1}{2n})^{2n-1}+....+(1+\frac{1}{2n})^{n}+...+1)$
$\displaystyle < \frac{1}{2n}(n(1+\frac{1}{2n})^{2n}+n(1+\frac{1}{2n})^{n})$

Αν θέσουμε $\displaystyle x=(1+\frac{1}{2n})^{n}$
προκύπτει ότι $x^{2}-x-2< 0$
που δίνει ότι $\displaystyle (1+\frac{1}{2n})^{n}<2$
δηλαδή $\displaystyle (1+\frac{1}{2n})^{2n}<4$
Τέλος είναι

$\displaystyle(1+\frac{1}{2n+1})^{2n+1}< (1+\frac{1}{2n})^{2n+1}< 4(1+\frac{1}{2n})\leq 6$

#11

Επίσης (για την αρχική ανισότητα και $n\geq 3$ ):

$\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdot ... \cdot\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\cdot ... \cdot \dfrac{n+1}{n}=\dfrac{3(n+1)}{4}\leq n.$

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥΣ -ΠΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ !

Μέλη σε σύνδεση