Ελάχιστο παράστασης

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4620
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ελάχιστο παράστασης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μαρ 29, 2021 8:28 pm

Έστω \alpha_1 < \alpha_2< \cdots < \alpha_\nu πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle{\mathcal{S} = \left| x - \alpha_1 \right| + \left| x- \alpha_2 \right| + \cdots + \left| x - \alpha_\nu \right|}
Χωρίς λύση...


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6322
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ελάχιστο παράστασης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Μαρ 29, 2021 9:13 pm

Αν \displaystyle{n} περιττός, θεωρούμε τα συμμετρικά ζευγάρια ως προς τον μεσαίο όρο και δεν πειράζουμε τον μεσαίο όρο, ο οποίος είναι φυσικά μη αρνητικός. Για να φανεί η διαδικασία το δείχνω για συγκεκριμένο \displaystyle{n=5.}

Ας είναι π.χ. \displaystyle{f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-13|+|x-54|+|x-100|.}

Είναι \displaystyle{|x-1|+|x-100|\geq |x-1-(x-100)|=99} και η ισότητα ισχύει όταν \displaystyle{x\in [1,100].}

Ομοίως είναι \displaystyle{|x-3|+|x-54|\geq 51} και η ισότητα ισχύει όταν \displaystyle{x\in [3,54]..}

Άρα \displaystyle{f(x)\geq 150} και η ισότητα ισχύει όταν \displaystyle{x\in [1,00]\cap [3,54]} και \displaystyle{x=13,} δηλαδή όταν \displaystyle{x=13.}

Επομένως το ελάχιστο είναι το \displaystyle{150.}

Γενικά για \displaystyle{n} περιττό το ελάχιστο είναι \displaystyle{a_n+a_{n-1}+\cdots +a_k-(a_{k-1}+\cdots +a_1),} όπου \displaystyle{k=\left[\frac{n}{2}\right]+1}.

Για \displaystyle{n} άρτιο, η κατάσταση είναι παρόμοια, απλώς τώρα δεν υπάρχει ο μεσαίος όρος, οπότε δουλεύουμε μόνο με τα ζευγάρια.

Το δείχνω για \displaystyle{n=6.}

Ας είναι π.χ. \displaystyle{f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-15|+|x-20|+|x-30|+|x-100|.}

Είναι \displaystyle{f(x)\geq |x-1-(x-100)|+|x-3-(x-30)|+|x-15-(x-20)|=99+27+5=131}

και η ισότητα πιάνεται για \displaystyle{x\in [1,00]\cap [3,30]\cap [15,20] \iff x\in [15,20].}

Γενικά, αν το \displaystyle{n} είναι άρτιο, το ελάχιστο πιάνεται σε ένα ευθύγραμμο τμήμα.

Το ελάχιστο είναι το \displaystyle{a_n+a_{n-1}+\cdots +a_{\frac{n}{2}}-(a_{\frac{n}{2}-1}+\cdots a_2+a_1).}

*** Προφανώς ανήκει σε άλλον φάκελο.


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστο παράστασης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 29, 2021 9:49 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μαρ 29, 2021 8:28 pm
Έστω \alpha_1 < \alpha_2< \cdots < \alpha_\nu πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle{\mathcal{S} = \left| x - \alpha_1 \right| + \left| x- \alpha_2 \right| + \cdots + \left| x - \alpha_\nu \right|}
Χωρίς λύση...
Αν θέσουμε \displaystyle{f(x)= \left| x - \alpha_1 \right| + \left| x- \alpha_2 \right| + \cdots + \left| x - \alpha_n \right|}
η συνάρτηση είναι κυρτή,και γραμμική στα υποδιαστήματα που ορίζουν τα a_i
Ετσι η ελάχιστη τιμή είναι το
f(a_k) αν n=2k-1
και τα
f(a_k)=f(a_{k+1}) αν n=2k


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης