ασκηση

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

ασκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Μάιος 05, 2010 8:52 am

με αφορμή την άσκηση εδώ

Αν \displaystyle{f:R\to R} συνεχής συνάρτηση ώστε \displaystyle{f(f(x))=\frac{1}{2}(1+ln(1+e+e^{1+2x}),x\in R} τότε δείξτε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα. Αν επιπλέον \displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=\frac{1}{2}} να βρεθεί ο τύπος της


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ασκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Μάιος 05, 2010 2:11 pm

Μία απόπειρα για το πρώτο:
Από τη δοθείσα εύκολα προκύπτει ότι η f είναι 1-1 και επειδή είναι και συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη. έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα. Η δοθείσα σχέση γράφεται:f(f(x))=ln \sqrt {e+e^2+e^{2+2x} (1). Αν θέσουμε όπου x, το f(x) θα έχουμε f(f(f(x)))=ln\sqrt {e+e^2+e^{2+2f(x)}}>f(x), άρα f(f(x))<x άρα x< \frac {1}{2}(1+ln(1+e+e^{1+2x})<x , άτοπο.


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ασκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Μάιος 06, 2010 7:42 am

Μια λύση
1.f:1-1 (εύκολα)
2.Αφού είναι συνεχής και 1-1 εἰναι γνήσια μονότονη
3.Αν f γνήσια φθίνουσα στο R θα έπρεπε να τέμνει την πρώτη διχοτόμο (σε μοναδικό σημείο) διότι αν θέσουμε h(x)=f(x)-x , a=f(0) τότε αν a=0 το δείξαμε αν a>0 τότε h(0)=f(0)=a>0 και h(a)=f(a)-a=f(a)-f(0)<0 (f γνήσια φθίνουσα) οπότε από Bolzano τελειώσαμε και όμοια αν a<0
4.Θα έπρεπε λοιπόν να υπάρχει \displaystyle{r\in R:f(r)=r\Rightarrow f(f(r))=f(r)=r\Rightarrow 1/2(1+ln(1+e+e^{2r+1})=r\Rightarrow e^{2r-1}=1+e+e^{2r+1}} αδύνατον αφού 2r-1<2r+1
5.συνεπώς η f είναι γνήσια αύξουσα άρα \displaystyle{f(x)>\lim_{x\to -\infty}f(x)=1/2}οπότε \displaystyle{e^{2f(x)}-e>0}
6.θετω \displaystyle{e^{2f(x)}-e=e^{2g(x)+1}} ή \displaystyle{f(x)=1/2ln(e+e^{2g(x)+1)} με g να είναι γνήσια αύξουσα αφού η f είναι γνήσια αύξουσα
7. τότε \displaystyle{f(f(x))=1/2(1+ln(1+e+e^{2g(g(x))+1})=1/2(1+ln(1+e+e^{2x+1})} άρα g(g(x))=x με g να είναι γνήσια αύξουσα και είναι πολύ γνωστή άσκηση ότι g(x)=x οπότε \displaystyle{f(x)=1/2ln(e+e^{2x+1})

(Αν δεν είναι γνωστή τότε : Έστω g(a)>a δηλαδή g(g(a))>g(a)>a άρα a>a άτοπο και όμοια όταν g(a)<a...)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης