Όριο

Silver · #1

Να υπολογίσετε το

$lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}$

llenny · #2

Ονομάζουμε το ζητούμενο όριο

και έχουμε $y = \lim_{x \to 0} \sqrt{x + y} \leftrightarrow y = \sqrt{y}$ , άρα y = 0

ή

. Αν όμως

τότε έχουμε $1 = \sqrt{1 + \sqrt{a}}$ με

ένας "μεγάλος αριθμός", το οποίο είναι άτοπο, άρα το όριο μας είναι ίσο με

. Δεν είμαι σίγουρος για την ορθότητα της λύσης οπότε αν κάποιος βρει το οτιδήποτε ας το γράψει.

#3

To πρόβλημα δεν είναι τόσο με την λύση αλλά με την εκφώνηση. Συγκεκριμένα, όταν γράφουμε την παράσταση

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}$

πρέπει να ξέρουμε τι εννοούμε (και είναι εκτός Σχολικής ύλης).

Εννοούμε $\displaystyle{\lim _{n \to \infty } \underset{n\,\, rizika}{\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt x}}}}} }$ και βέβαια πρέπει να αποδείξουμε ότι το όριο υπάρχει (απλό από το Αξίωμα Πληρότητας, το οποίο μαθαίνουν οι φοιτητές του Μαθηματικού όταν μπουν στο Πανεπιστήμιο).

Δηλαδή η άσκηση ουσιαστικά ζητά το

$\displaystyle{ \lim_{x\to 0+} \lim _{n \to \infty } \underset{n\,\, rizika}{\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt x}}}}}}$

Το να πούμε ότι ισούται με εναλλαγή των ορίων, δηλαδή $\displaystyle{ \lim _{n \to \infty } \lim_{x\to 0+}\underset{n\,\, rizika}{\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt x}}}}}}$ , θέλει τεκμηρίωση.

Ο τρόπος αντιμετώπισης της άσκησης είναι ουσιαστικά αυτό που γράφεις, βελτιωμένο: Αφού δείξουμε ότι το όριο των φωλιασμένων ριζικών (στην αρχική παράσταση) υπάρχει και αν το πούμε

, τότε από τις ιδιότητες των ορίων είναι $L = \sqrt {x+L}$ από όπου

$\displaystyle{\boxed { L= \dfrac {1}{2}\left (1 + \sqrt {1+4x}\right )}$ .

Tα υπόλοιπα, άμεσα.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση