Ἐνδιαφέρουσα ἀνισότης

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 566
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Ἐνδιαφέρουσα ἀνισότης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Παρ Νοέμ 26, 2021 1:57 am

Ἔστω x_1,\ldots,x_n>0, ὄχι ὅλοι ἴσοι, ὥστε \sum_{i=1}^n x_n=1. Δείξατε ὅτι

\displaystyle{ 
x_1^{x_1}\cdots x_n^{x_n}>\frac{1}{n}. 
}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13890
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ἐνδιαφέρουσα ἀνισότης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 26, 2021 10:12 am

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 1:57 am
Ἔστω x_1,\ldots,x_n>0, ὄχι ὅλοι ἴσοι, ὥστε \sum_{i=1}^n x_n=1. Δείξατε ὅτι

\displaystyle{ 
x_1^{x_1}\cdots x_n^{x_n}>\frac{1}{n}. 
}
Επειδή η f(x)=x\ln x,\,x>0 είναι γνήσια κυρτή (έλεγχος: f''(x)=\frac {1}{x} >0) έχουμε (Jensen) \displaystyle{\dfrac {1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) > f \left ( \dfrac {\sum_{i=1}^n x_i}{n} \right )}, εδώ


\displaystyle{\dfrac {1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\ln x_i >   \dfrac {\sum_{i=1}^n x_i}{n}\ln  \dfrac {\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \dfrac {1}{n}\ln  \dfrac {1}{n} }

ισοδύναμα

\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i\ln x_i >  \ln  \dfrac {1}{n} }

Παίρνοντας εκθετικό, έπεται η ζητούμενη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης