Παραμετρικό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Για κατάλληλους c, d

να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{c}^{d} \frac{\mathrm{d}u}{u \sqrt{\left ( u^2-c^2 \right ) \left ( d^2-u^2 \right ) }}}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 25, 2022 8:09 pm
Για κατάλληλους να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{c}^{d} \frac{\mathrm{d}u}{u \sqrt{\left ( u^2-c^2 \right ) \left ( d^2-u^2 \right ) }}}$

Χωρίς την επίπονη πληκτρολόγιση. Γενικότερα, θα βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα (για

στο ίδιο διάστημα).

Η αλλαγή μεταβλητής u^2= x

κδίνει $2u \dfrac {du}{dx} = 1$ . Διαιρούμε με το u^2

, οπότε $\dfrac {2}{u} \dfrac {du}{dx}= \dfrac {1} {x}$ . To ολοκλήρωμα τώρα παίρνει την μορφή

$\displaystyle{\dfrac {1}{2} \int \dfrac{dx}{x \sqrt{\left ( x- c^2 \right ) \left ( d^2-x \right ) }} = \dfrac {1}{2} \int \dfrac{dx}{x \sqrt{A - (B-x)^2 }}}$

για κατάλληλα A,B

. Κάνουμε τώρα την (στάνταρ για αυτές τις περιπτώσεις) αλλαγή μεταβλητής $x= B-\sqrt A \sin \theta$ . Θα πάρει την μπρφή (αφού απλοποιηθούν κάτι $\cos \theta$ )

$\int \dfrac {d\theta }{ B-\sqrt A \sin \theta }$ που είναι γνωστό ολοκλήρωμα. Υπολογίζεται με την αλλαγή μεταβλητής $t = \tan \frac {\theta }{2}$ αλλά και με άλλους τρόπους.

Και λοιπά, άντε γράψτα όλα αυτά.

Tolaso J Kos · #4

Υπάρχει και η αντικατάσταση $u^2 = c \cos t + d \sin t$ .

Παραμετρικό ολοκλήρωμα

Παραμετρικό ολοκλήρωμα

Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα

Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα

Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση