Πλήθος σημείων τομής
Συντονιστής: emouroukos
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Πλήθος σημείων τομής
Να βρείτε το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της,
Δεν έχω λύση...
Δεν έχω λύση...
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος σημείων τομής
Ένα και μόνον σημείο τομής, επί της διαγωνίου:
Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι τόσο η όσο και η είναι φθίνουσες και κοίλες: πράγματι, , , , .
Για να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο τομής των και , αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής επί της διαγωνίου , αρκεί δηλαδή να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής της με την διαγώνιο. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη προς την , όπου : από τις και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο μηδενισμού της , και από την συμπεραίνουμε ότι αυτό είναι μοναδικό.
Υπάρχουν σημεία τομής των εκτός της διαγωνίου; Αυτό είναι γενικά δυνατόν, ακόμη και όταν οι είναι φθίνουσες και κοίλες, όπως εδώ. Στο συγκεκριμένο όμως πρόβλημα η ύπαρξη περισσοτέρων σημείων τομής των αποκλείεται από το γεγονός ότι η είναι φθίνουσα, όπως θα δείξουμε παρακάτω.
Καθώς
και ο παρονομαστής είναι μονίμως αρνητικός, αρκεί να δειχθεί η ανισότητα
Όπως επισήμανα στην αμέσως επόμενη δημοσίευση, υπάρχει παρακάτω λάθος που διορθώθηκε στην μεθεπόμενη δημοσίευση: το αφήνω όμως το κωμικοτραγικό μου λάθος, καθώς είναι διδακτικότατο!
Η ανισότητα αυτή προκύπτει εύκολα από τις ανισότητες και , αναγόμενη στην ισχύουσα .
Για την πρώτη ανισότητα αναζητούμε το ελάχιστο του εκθέτη, για τον οποίο ισχύει η
Η παράγωγος μηδενίζεται ακριβώς όταν , οπότε και, τελικά, : συμπεραίνουμε ότι
Αρκεί πλέον να δειχθεί η ανισότητα . Η ανισότητα αυτή είναι άμεση είτε στην περίπτωση είτε στην περίπτωση . Υποθέτοντας ότι αποτυγχάνουν και οι δύο ταυτόχρονα για κάποιο , οπότε και , καταλήγουμε σε άτοπο:
Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι τόσο η όσο και η είναι φθίνουσες και κοίλες: πράγματι, , , , .
Για να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο τομής των και , αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής επί της διαγωνίου , αρκεί δηλαδή να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής της με την διαγώνιο. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη προς την , όπου : από τις και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο μηδενισμού της , και από την συμπεραίνουμε ότι αυτό είναι μοναδικό.
Υπάρχουν σημεία τομής των εκτός της διαγωνίου; Αυτό είναι γενικά δυνατόν, ακόμη και όταν οι είναι φθίνουσες και κοίλες, όπως εδώ. Στο συγκεκριμένο όμως πρόβλημα η ύπαρξη περισσοτέρων σημείων τομής των αποκλείεται από το γεγονός ότι η είναι φθίνουσα, όπως θα δείξουμε παρακάτω.
Καθώς
και ο παρονομαστής είναι μονίμως αρνητικός, αρκεί να δειχθεί η ανισότητα
Όπως επισήμανα στην αμέσως επόμενη δημοσίευση, υπάρχει παρακάτω λάθος που διορθώθηκε στην μεθεπόμενη δημοσίευση: το αφήνω όμως το κωμικοτραγικό μου λάθος, καθώς είναι διδακτικότατο!
Η ανισότητα αυτή προκύπτει εύκολα από τις ανισότητες και , αναγόμενη στην ισχύουσα .
Για την πρώτη ανισότητα αναζητούμε το ελάχιστο του εκθέτη, για τον οποίο ισχύει η
Η παράγωγος μηδενίζεται ακριβώς όταν , οπότε και, τελικά, : συμπεραίνουμε ότι
Αρκεί πλέον να δειχθεί η ανισότητα . Η ανισότητα αυτή είναι άμεση είτε στην περίπτωση είτε στην περίπτωση . Υποθέτοντας ότι αποτυγχάνουν και οι δύο ταυτόχρονα για κάποιο , οπότε και , καταλήγουμε σε άτοπο:
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Δευ Σεπ 26, 2022 10:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος σημείων τομής
Της νύχτας τα καμώματα τα βλέπει η μέρα και γελά: το ακρότατο της που υπολογίστηκε παραπάνω ... δεν είναι ολικό ελάχιστο αλλά ... ολικό μέγιστο!
[Σε πρώτη, οριακά ανεπιτυχή, προσπάθεια ο όρος δεν είχε καν ληφθεί υπ' όψιν -- ελπίζω να επανέλθω!]
[Σε πρώτη, οριακά ανεπιτυχή, προσπάθεια ο όρος δεν είχε καν ληφθεί υπ' όψιν -- ελπίζω να επανέλθω!]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος σημείων τομής
Ως εδώ καλά, από εδώ και πέρα χρειάζεται -- όπως τόνισα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση -- αλλαγή πλεύσης:gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 25, 2022 10:46 pmΈνα και μόνον σημείο τομής, επί της διαγωνίου:
Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι τόσο η όσο και η είναι φθίνουσες και κοίλες: πράγματι, , , , .
Για να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο τομής των και , αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής επί της διαγωνίου , αρκεί δηλαδή να δείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής της με την διαγώνιο. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη προς την , όπου : από τις και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο μηδενισμού της , και από την συμπεραίνουμε ότι αυτό είναι μοναδικό.
Υπάρχουν σημεία τομής των εκτός της διαγωνίου; Αυτό είναι γενικά δυνατόν, ακόμη και όταν οι είναι φθίνουσες και κοίλες, όπως εδώ. Στο συγκεκριμένο όμως πρόβλημα η ύπαρξη περισσοτέρων σημείων τομής των αποκλείεται από το γεγονός ότι η είναι φθίνουσα, όπως θα δείξουμε παρακάτω.
Καθώς
και ο παρονομαστής είναι μονίμως αρνητικός, αρκεί να δειχθεί η ανισότητα
Επικεντρωνόμαστε στον δεύτερο όρο, και παρατηρούμε ότι αν τότε
(ισχύει).
Αρκεί λοιπόν να ισχύει είτε η είτε η : όπως θα δούμε, αν δεν ισχύει η πρώτη ανισότητα ισχύει υποχρεωτικά η δεύτερη. Όντως, η πρώτη ανισότητα ισχύει για , ας υποθέσουμε λοιπόν , οπότε : πράγματι αν τότε
, άτοπο.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες