Υπάρχει συνάρτηση ;

Συντονιστής: emouroukos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Υπάρχει συνάρτηση ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Μάιος 21, 2010 6:24 am

Καλή σας μέρα
Υπάρχει συνάρτηση f:(0,+\infty) \to (0,+\infty), συνεχής και γνησίως φθίνουσα με την ιδιότητα
f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y)))+f(y+f(x)), \forall x,y \in (0,+\infty)


Σπύρος Καπελλίδης
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Υπάρχει συνάρτηση ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Μάιος 21, 2010 10:22 am

Καλημερα.

Λογω μονοτονιας και φραγματων υπαρχουν τα ορια \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = l_{\infty} \geq 0, \  \lim_{x \to 0} f(x) = l_0 > 0 (το δευτερο οριο πιθανως απειρο).

Εστω l_{\infty} > 0. Θετοντας x = y και παιρνοντας ορια στο απειρο, εχουμε l_{\infty} + f (2 l_{\infty}) = f( l_{\infty}) + l_{\infty}, δηλαδη f (2 l_{\infty}) = f( l_{\infty}), ατοπο λογω μονοτονιας. Αρα l_{\infty} = 0.

Παιρνοντας ορια για x στο απειρο και σταθερο y > 0, εχουμε (απο συνεχεια) f[f(y)] = l_0 + f(y). Αρα f[f(y)] > f(y) \implies 0 < f(y) < y λογω μονοτονιας. Ετσι, απο ισοσυγκλινουσες συναρτησεις εχουμε \lim_{x \to 0} f(x) = 0 που ειναι ατοπο.

Οποτε τετοια συναρτηση δεν υπαρχει.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει συνάρτηση ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Παρ Μάιος 21, 2010 4:32 pm

s.kap έγραψε:Υπάρχει συνάρτηση f:(0,+\infty) \to (0,+\infty), συνεχής και γνησίως φθίνουσα με την ιδιότητα
f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y)))+f(y+f(x)), \forall x,y \in (0,+\infty)
Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση.

Α. Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (0,+\infty) με θετικές τιμές, τα όρια της f στο 0 και στο +\infty θα είναι B, A με B>A \geq 0 αντίστοιχα.

Β. Με τη βοήθεια του παραπάνω εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι θα υπάρχει μοναδικό y>0 τέτοιο ώστε f(y)=y.
(Δεν μπορεί f(x)\ne x για κάθε θετικό x αφού τότε θα έπρεπε, λόγω συνέχειας, f(x)> x για κάθε θετικό x ή f(x)< x για κάθε θετικό x. Και οι δύο περιπτώσεις, με την βοήθεια των ορίων και του Α, μας οδηγούν σε άτοπο.)

Γ. Τοποθετούμε το y για το οποίο f(y)=y στην δοσμένη σχέση και έχουμε:
f(x+y)+f(f(x)+y)=f(f(x+y))+f(y+f(x)), \forall x \in (0,+\infty)
ή
f(x+y)=f(f(x+y)), \forall x \in (0,+\infty)
και, λόγω μονοτονίας,
x+y=f(x+y), \forall x \in (0,+\infty)

Η τελευταία σχέση είναι ασυμβίβαστη με την μονοτονία της f.


Κώστας Σερίφης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Υπάρχει συνάρτηση ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Μάιος 21, 2010 5:03 pm

Ωραίες λύσεις και οι δύο. Η δική μου είναι σχεδόν ίδια με αυτή του Κώστα(Χρόνια πολλά Κώστα!!). Δηλαδή στηρίζομαι στο ότι υπάρχει x_0>0 ώστε f(x_0)=x_0. Αν στη σχέση που δίνεται θέσουμε x=y=x_0, έχουμε f(2x_0)=f(f(x_0)) \Rightarrow 2x_0=x_0 \Rightarrow 2=1, άτοπο
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης