Προσέγγιση εμβαδού

[KARKAR]

Προσέγγιση εμβαδού.png (249.92 KiB) Προβλήθηκε 1169 φορές

Προσεγγίζουμε το εμβαδόν μιας κυρτής συνάρτησης είτε με τραπέζιο στο οποίο η είναι

μια χορδή της καμπύλης , είτε με την εφαπτομένη , στο μέσο του διαστήματος .

Μπορούμε να ισχυρισθούμε ότι το δεύτερο εμβαδόν είναι πλησιέστερα στο πραγματικό , απ' ότι το πρώτο ;

[add2math]

Ισχύει.
Έστω η απόκλιση της πρώτης μεθόδου από την τιμή του ολοκληρώματος και η αντίστοιχη της δεύτερης μεθόδου. Αρκεί να δείξω ότι .
Φέρνουμε τα τμήματα και . Λόγω κυρτότητας της , τα τμήματα αυτά είναι «πάνω» από τη γραφική παράσταση της , ενώ η εφαπτομένη είναι από «κάτω» της.
Το τετράπλευρο είναι τραπέζιο και λόγω του ότι το είναι μέσο του έχουμε , από γνωστή πρόταση γεωμετρίας.
Άρα
Έχουμε ότι , όπως θέλαμε.

Προσέγγιση εμβαδού .png (46.89 KiB) Προβλήθηκε 1051 φορές