sup του inf -2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων $\displaystyle f:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\rightarrow [-1,1]$
που είναι παραγωγίσιμες στο $\displaystyle ( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
Να υπολογισθεί το
$\displaystyle sup_{f\in A}inf_{x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}|f(x)+f'(x)|$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 10, 2023 9:42 pm
Εστω το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων $\displaystyle f:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\rightarrow [-1,1]$
που είναι παραγωγίσιμες στο $\displaystyle ( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
Να υπολογισθεί το
$\displaystyle sup_{f\in A}inf_{x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}|f(x)+f'(x)|$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Θα προσπαθησω να δωσω ενα ΠΕΡΙΠΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ τρόπο αν και αμφιβάλλω για την ορθότητα του
εχουμε
$\displaystyle{{f(x)+f'(x)=a \Rightarrow e^xf(x)+e^xf'(x)=ae^x\Rightarrow}$ ,
$\displaystyle{(e^xf(x)'=(ae^x)' \Rightarrow f(x)=a+ce^{-x} kai {f(\pi/2)=1,f(-\pi/2)=-1}$ οπότε
$\displaystyle{-1=a+ce^{\pi/2}, 1=a+ce^{-\pi/2}}}$

ετσι προσδιοριζουμε μια μοναδική κυρτή kαι γν.αυξουσα συναρτηση που διερχεται από τα σημεια
$\displaystyle{(f(\pi/2),1),(f(-\pi/2),-1)}$
$\displaystyle{f_0(x)=\frac{e^{\pi/2}+e^{-\pi/2}}{e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}}}+\frac{2}{e^{-\pi/2}-e^{\pi/2}}e^{-x}}$ αλλά
Αν $\displaystyle{f(\pi/2)=u ,-1<u<1,}$ τοτε οι διαφορες f καλυπτουν ολα τα σημεια του χωριου που βρίσκεται κατω απο την $\displaystyle{f_0}$ kαι είναι ταυτόχρονα στο εσωτερικό του ορθογωνιου
με κορυφες $\displaystyle{(\pi/2,1),}$ (-\pi/2,1), $\displaystyle{(-\pi/2,1),(-\pi/2,-1)}$
παρατηρηση
Θεωρησα (θέλει αποδείξεις) πως οι συντελεστες α,c προσδιορίζουν δυο ακραια σημεια της καμπυλης που προκυπτει απο τον τελεστη [(d/dx)+1]f=a kαι αυτα τα δυο σημεια οριζουν την ακριβή θέση της f

Επισης αυτα ισχύουν για $\displaystyle{a>0}$ οποτε $\displaystyle{ |a|=a}$ αναλογα Και αν $\displaystyle{a<0}$

sup του inf -2

sup του inf -2

Re: sup του inf -2

Re: sup του inf -2

Μέλη σε σύνδεση