Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα και έτσι ώστε τότε για κάθε μεταξύ των θα υπάρχει τέτοιο ώστε: .
Απόδειξη.
- 1. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα και τότε η είναι .
Η απόδειξη είναι εύκολη με άτοπο και χρήση του θεωρήματος Rolle.
- 2. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και στο διάστημα τότε είναι γνησίως μονότονη.
Η απόδειξη με άτοπο και χρήση του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών συνεχούς συνάρτησης.
- 3. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα και υπάρχουν τέτοια ώστε , τότε θα υπάρχει τέτοιο ώστε: .
Απόδειξη
Έστω ότι το ζητούμενο δεν ισχύει. Θα είναι
Από 1., 2. η είναι γνησίως μονότονη. Έστω ότι είναι γνησίως αύξουσα - ομοίως αν είναι γνησίως φθίνουσα.
Ισχύει οπότε . Άτοπο.