Σελίδα 1 από 1

Υπαρξιακό

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 06, 2010 9:57 am
από Μπάμπης Στεργίου
Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και φραγμένη στο IR. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν a , b στο IR με a-b = 1 και

(a^2+1)f(b) = (b^2+1)f(a)

Μπάμπης

(Vasile Dumitrache - 2010)

Re: Υπαρξιακό

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 06, 2010 10:34 am
από AlexandrosG
Έστω ότι δεν υπάρχουν τέτοια a,b και έστω m<f<M. Τότε επειδή η

\displaystyle{g(x)=\frac{f(x+1)}{(x+1)^2+1}-\frac{f(x)}{x^2+1}}

είναι συνεχής και δεν έχει ρίζα θα διατηρεί πρόσημο. Έστω g(x)>0 για κάθε x \in \mathbb{R}. Έστω \nu \in \mathbb{N}. Τότε

\displaystyle{\frac{f(x-\nu)}{(x-\nu)^2+1} < \frac{f(x)}{x^2+1} < \frac{f(x+\nu)}{(x+\nu)^2+1}}

Τότε

\displaystyle{m<\frac{(\nu-x)^2+1}{x^2+1}f(x)} και \displaystyle{\frac{(\nu+x)^2+1}{x^2+1}f(x)<M}

Για να ισχύει η πρώτη σχέση για κάθε \nu \in \mathbb{N} πρέπει f(x) \geq 0( αν ήταν f(x)<0 τότε παίρνοντας όριο για \nu \to +\infty θα ήταν m<-\infty, άτοπο) και για να ισχύει η δεύτερη για κάθε \nu \in \mathbb{N} πρέπει f(x) \leq0. Δηλαδή f=0 που αντιφάσκει με την υπόθεσή μας. Όμοια αν g<0. Άρα υπάρχουν τέτοια a,b.

Ωραία άσκηση :)