Όριο πολυγάμμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\psi^{(2)}$ η πολυγάμμα συνάρτησης τάξης

. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} 4^n \psi^{(2)} \left ( 2^n \right ) = -1}$ .

nickolas tsik · #2

Καλησπερα κ Tolaso, προφανής και ενδιαφέρουσα η απάντηση

Ξεκινάμε με την ασυμπτωτική συμπεριφορά της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης πολυγάμμα, $\psi^{(2)}(x)$ . Αυτή η συμπεριφορά εκφράζεται ως:

$\displaystyle \psi^{(2)}(x) \sim -\frac{1}{x^2}$

Για να το αποδείξουμε, χρησιμοποιούμε την πρώτη εκδοχή της ασυμπτωτικής εκφρασης της συνάρτησης πολυγάμμα:

$\displaystyle \psi^{(m)}(x) = (-1)^{m+1} m! \int_0^{\infty} \frac{e^{-t}t^{m-1}}{(1 - e^{-t})^2} \, dt$

Για m = 2

, έχουμε:

$\displaystyle \psi^{(2)}(x) = -2! \int_0^{\infty} \frac{e^{-t}t}{(1 - e^{-t})^2} \, dt$

μπορούμε να αναπτύξουμε τον παρονομαστή σε σειρά Taylor:

$\displaystyle (1 - e^{-t})^2 \approx (1 - 1 + t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6} - ...) (1 - 1 + t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6} - ...)$

$\displaystyle = t^2 - 2t^3 + \frac{5}{3}t^4 - ...$

Άρα, ο όρος $e^{-t}$ εξαλείφεται και μένει ο όρος t^2

. Συνεπώς, έχουμε:

$\displaystyle \psi^{(2)}(x) \approx -2! \int_0^{\infty} t^2 \, dt = -2! \cdot \frac{1}{3} t^3 \Big|_0^{\infty} = -\frac{1}{3} t^3 \Big|_0^{\infty} = -\frac{1}{3} \cdot \infty^3$

Οπότε:

$\displaystyle \psi^{(2)}(x) \sim -\frac{1}{x^2}$

Τώρα, αντικαθιστούμε

με

:

$\displaystyle \psi^{(2)}(2^n) \sim -\frac{1}{(2^n)^2} = -\frac{1}{2^{2n}}$

Τώρα, ας εξετάσουμε την εφαρμογή της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς στο αρχικό όριο:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} 4^n \psi^{(2)}(2^n) = \lim_{n \to \infty} 4^n \left( -\frac{1}{2^{2n}} \right)$

Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$ , επομένως:

$\displaystyle 4^n \left( -\frac{1}{2^{2n}} \right) = 2^{2n} \left( -\frac{1}{2^{2n}} \right)$

Απλοποιούμε:

$\displaystyle 2^{2n} \cdot -2^{-2n} = -1$

\subsection*{Τελικό Αποτέλεσμα}

Επομένως, το όριο είναι:

\[
\boxed{-1}
\

Νικολας

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μάιος 15, 2024 10:17 pm Έστω $\psi^{(2)}$ η πολυγάμμα συνάρτησης τάξης . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} 4^n \psi^{(2)} \left ( 2^n \right ) = -1}$ .

Απλούστερα και γενικότερα, στην παραπομπή που δίνεις στο σημείο που λέει Recurrence relation, γράφει ότι για $m\ge 1$ έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {\psi^{(m)} \left ( n \right )}{(-1)^{m+1} m!} = \sum _{k=n}^{\infty} \dfrac {1}{k^{m+1} }}$ . Οπότε για m=2

έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {\psi^{(2)} \left ( n \right )}{(-1)^{3} 2!} = \sum _{k=n}^{\infty} \dfrac {1}{k^{3}} \sim \int _n^{\infty} \dfrac {1}{x^3} dx = \dfrac {1}{2n^2}}$ , άρα (γενικότερα από το ζητούμενο)

$\displaystyle{\boxed {\lim_{n \rightarrow +\infty} n^2 \psi^{(2)} \left ( n \right )= -1} }$

Και αν θέλεις, ακόμα γενικότερα,

$\displaystyle{\dfrac {\psi^{(m)} \left ( n \right )}{(-1)^{m+1} m!} = \sum _{k=n}^{\infty} \dfrac {1}{k^{m+1}} \sim \int _n^{\infty} \dfrac {1}{x^{m+1}} dx = \dfrac {1}{mn^m}}$ άρα

$\displaystyle{\boxed {\lim_{n \rightarrow +\infty} n^m \psi^{(m)} \left ( n \right )= (-1)^{m+1}(m-1)!}}$

Όριο πολυγάμμα

Όριο πολυγάμμα

Re: Όριο πολυγάμμα

Re: Όριο πολυγάμμα

Μέλη σε σύνδεση